О спектре двумерного оператора Шрёдингера с однородным магнитным полем и периодическим электрическим потенциалом

Аннотация

Рассматривается двумерный оператор Шрёдингера $\widehat H_B+V$ с однородным магнитным полем $B$ и периодическим электрическим потенциалом $V$. Доказано отсутствие в спектре оператора $\widehat H_B+V$ собственных значений (бесконечной кратности), если электрический потенциал $V$ - непостоянный тригонометрический многочлен и для магнитного потока выполнено условие $(2\pi )^{-1}\, Bv(K)=Q^{-1}$, $Q\in \mathbb{N}$, где $v(K)$ - площадь элементарной ячейки $K$ решетки периодов $\Lambda \subset \mathbb{R}^2$ потенциала $V$. В этом случае отсутствует сингулярная составляющая спектра, поэтому спектр абсолютно непрерывен. В статье используется магнитно-блоховская теория. От решетки периодов $\Lambda $ перейдем к решетке $\Lambda _{\, Q}=\{ N_1QE^1+N_2E^2:N_j\in \mathbb{Z} , j=1,2\} $, где $E^1$ и $E^2$ - базисные векторы решетки $\Lambda $. Оператор $\widehat H_B+V$ унитарно эквивалентен прямому интегралу операторов $\widehat H_B(k)+V$, $k\in 2\pi K_{\, Q}^*$, действующих в пространстве магнитно-блоховских функций, где $K_{\, Q}^*$ - элементарная ячейка обратной решетки $\Lambda _{\, Q}^*\subset \mathbb{R}^2$. Доказательство отсутствия собственных значений в спектре оператора $\widehat H_B+V$ основано на следующем утверждении: если $\lambda $ - собственное значение оператора $\widehat H_B+V$, то $\lambda $ - собственное значение операторов $\widehat H_B(k+i\varkappa)+V$ при всех $k,\, \varkappa \in \mathbb{R}^2$ и, более того (при заданных условиях на $V$ и $B$), существует вектор $k_0\in \mathbb{C}^2\, \backslash \, \{ 0\}$ такой, что собственные функции операторов $\widehat H_B (k+\zeta k_0)+V$, $\zeta \in \mathbb{C}$, являются тригонометрическими многочленами $\sum \zeta ^j\Phi _j$ от $\zeta $.