Точное решение одной задачи оптимизации, порожденной трехмерным уравнением Лапласа

Аннотация

Определено однопараметрическое семейство конечномерных пространств, состоящих из специальных трехмерных сплайнов лагранжева типа (параметр $N$ связан с размерностью пространства сплайнов). Решение краевой задачи для уравнения Лапласа, заданного в трехмерном параллелепипеде, допускает представление в виде суммы четырех слагаемых: функции, линейной по каждой из трех переменных, и решений трех частных краевых задач, порожденных исходным уравнением. В свою очередь, эти задачи порождают три задачи минимизации функционалов невязок, заданных в указанных пространствах сплайнов. Подобная декомпозиция позволяет исследовать лишь одну из трех задач оптимизации (две другие носят симметричный характер). Получена система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов оптимального сплайна, дающего наименьшую невязку. Показано, что система имеет единственное решение. Численное решение системы сводится к реализации метода прогонки (имеет место устойчивость данного метода). Численные эксперименты показывают, что с ростом $N$ минимум функционала невязок стремится к нулю.