Устойчивость двупараметрических систем линейных автономных дифференциальных уравнений с ограниченным запаздыванием
Ключевые слова:
дифференциальные уравнения с запаздыванием, системы дифференциальных уравнений, автономные уравнения, асимптотическая устойчивость, метод D-разбиения, область устойчивости
Аннотация
Рассматривается система линейных автономных дифференциальных уравнений с ограниченным запаздыванием в случае, когда ее характеристическая функция линейно зависит от двух скалярных параметров. Осуществлено развитие метода D-разбиения применительно к задаче построения области устойчивости этой системы. Во-первых, проведена полная классификация точек и линий D-разбиения. Во-вторых, проведена полная классификация двупараметрических характеристических уравнений по типу и структуре областей D-разбиения. Все уравнения разделены на четыре типа: области D-разбиения уравнения первого рода имеют криволинейные границы, области D-разбиения для уравнений второго и третьего рода имеют только прямолинейные границы, уравнение четвертого рода либо устойчиво, либо неустойчиво независимо от значений параметров. В-третьих, для каждого типа уравнений разработаны новые приемы выделения области устойчивости среди областей D-разбиения. На основании полученных результатов построены области устойчивости для некоторых дифференциальных уравнений и систем уравнений с сосредоточенным и распределенным запаздыванием.
Литература
1. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 351 c.
2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Н.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 c.
3. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, 2001. 230 с.
4. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 448 с.
5. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.
6. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 424 с.
7. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Матем. 1997. №6. С. 3-16.
8. Зубов В.И. К теории линейных стационарных систем с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Матем. 1958. №6. С. 86-95.
9. Постников М.М. Устойчивые многочлены. М.: Едиториал УРСС, 2004. 176 с.
10. Понтрягин Л.С. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1942. Т. 6. Вып. 3. С. 115-134.
11. Чеботарёв Н.Г., Мейман Н.Н. Проблема Рауса-Гурвица для полиномов и целых функций // Тр. МИАН СССР. 1949. Т. 26. C. 3-331.
12. Михайлов А.В. Метод гармонического анализа в теории регулирования // Автомат. и телемех. 1938. Вып. 3. C. 27-81.
13. Неймарк Ю.И. Об определении значений параметров, при которых система автоматического регулирования устойчива // Автомат. и телемех. 1948. Т. 9. №3. С. 190-203.
14. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем (дискретных и распределенных). Л.: ЛКВВИА, 1949. 140 с.
15. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978. 336 с.
16. Максвелл Д.К., Вышнеградский И.А., Стодола А. Теория автоматического регулирования (Линеаризованные задачи) / ред. и коммент. А.А. Андронова и И.Н. Вознесенского. М.: Изд-во АН СССР, 1949. 430 с.
17. Андронов А.А., Майер А.Г. Простейшие линейные системы с запаздыванием // Автомат. и телемех. 1946. Т. 7. Вып. 2-3. C. 95-106.
18. Левицкая И.С. Область устойчивости линейного дифференциального уравнения с двумя запаздываниями // Изв. Челябинского научного центра, 2004. T. 23. №2. С. 7-12.
19. Kipnis M.M., Levitskaya I.S. Stability of delay difference and differential equations: similarities and distinctions // Proc. Internat. Conf. Difference Equations, Special Functions and Orthogonal Polinomials, Munich, Germany, 2005. New Jersey: World Scientific, 2007. P. 315-324.
20. Mahaffy J.M., Busken T.C. Regions of stability for a linear differential equation with two rationally dependent delays // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2015. Vol. 35. Issue 10. P. 4955-4986. DOI: 10.3934/dcds.2015.35.4955
21. Мулюков М.В. Классификация двупараметрических автономных линейных систем с запаздыванием // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2017. Т. 132. С. 74-76.
22. Мулюков М.В. Структура областей D-разбиения для двупараметрических характеристических уравнений систем с запаздыванием // Функционально-дифференциальные уравнения: теория и приложения: материалы конференции, посвященной 95-летию со дня рождения профессора Н.В. Азбелева. ПНИПУ, Пермь, 2018. С. 180-200.
23. Мулюков М.В. Области D-разбиения с прямолинейными границами // Математика в современном мире: тезисы докладов международной конференции. ИМ СО РАН, Новосибирск, 2017. С. 233.
24. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.
25. Маркушевич A.И. Целые функции. Элементарный очерк. М.: Наука, 1975. 120 с.
26. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1. Функция одного переменного: учебник для университетов. 3-е изд. М.: Наука, 1985. 336 с.
27. Stepan G. Retarded dynamical systems: stability and characteristic functions. Longman Scientific & Technical, 1989. 151 p.
28. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2007. 488 с.
29. Сабатулина Т.Л., Малыгина В.В. Некоторые признаки устойчивости линейных автономных дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием // Изв. вузов. Матем. 2007. №6. С. 55-63.
30. Мулюков М.В. Об асимптотической устойчивости двупараметрических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием // Изв. вузов. Матем. 2014. №6. C. 48-55.
31. Hsu C.S., Bhatt S.J. Stability criteria for second-order dynamical systems with time lag // J. Appl. Mech. 1966. Vol. 33. Issue 1. P. 113-118. DOI: 10.1115/1.3624967
32. Hsu C.S., Bhatt S.J. Stability charts for second-order dynamical systems with time lag // J. Appl. Mech. 1966. Vol. 33. Issue 1. P. 119-124. DOI: 10.1115/1.3624968
33. Баландин А.С., Сабатулина Т.Л. Локальная устойчивость одной модели динамики популяции в условиях воздействия вредных веществ // Сиб. электрон. матем. изв. 2015. Т. 12. C. 610-624. http://mi.mathnet.ru/rus/semr/v12/p610
34. Мулюков М.В. Устойчивость линейного дифференциального уравнения с двукратным запаздыванием // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сборник трудов VIII международной конференции. Издательство «Научная книга», Воронеж, 2015. C. 258-260.
35. Мулюков М.В. Устойчивость одного линейного автономного дифференциального уравнения с сосредоточенным и распределенным запаздыванием // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2015. Т. 20. Вып. 5. C. 1325-1331.
2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Н.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 c.
3. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, 2001. 230 с.
4. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 448 с.
5. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.
6. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 424 с.
7. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Матем. 1997. №6. С. 3-16.
8. Зубов В.И. К теории линейных стационарных систем с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Матем. 1958. №6. С. 86-95.
9. Постников М.М. Устойчивые многочлены. М.: Едиториал УРСС, 2004. 176 с.
10. Понтрягин Л.С. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1942. Т. 6. Вып. 3. С. 115-134.
11. Чеботарёв Н.Г., Мейман Н.Н. Проблема Рауса-Гурвица для полиномов и целых функций // Тр. МИАН СССР. 1949. Т. 26. C. 3-331.
12. Михайлов А.В. Метод гармонического анализа в теории регулирования // Автомат. и телемех. 1938. Вып. 3. C. 27-81.
13. Неймарк Ю.И. Об определении значений параметров, при которых система автоматического регулирования устойчива // Автомат. и телемех. 1948. Т. 9. №3. С. 190-203.
14. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем (дискретных и распределенных). Л.: ЛКВВИА, 1949. 140 с.
15. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978. 336 с.
16. Максвелл Д.К., Вышнеградский И.А., Стодола А. Теория автоматического регулирования (Линеаризованные задачи) / ред. и коммент. А.А. Андронова и И.Н. Вознесенского. М.: Изд-во АН СССР, 1949. 430 с.
17. Андронов А.А., Майер А.Г. Простейшие линейные системы с запаздыванием // Автомат. и телемех. 1946. Т. 7. Вып. 2-3. C. 95-106.
18. Левицкая И.С. Область устойчивости линейного дифференциального уравнения с двумя запаздываниями // Изв. Челябинского научного центра, 2004. T. 23. №2. С. 7-12.
19. Kipnis M.M., Levitskaya I.S. Stability of delay difference and differential equations: similarities and distinctions // Proc. Internat. Conf. Difference Equations, Special Functions and Orthogonal Polinomials, Munich, Germany, 2005. New Jersey: World Scientific, 2007. P. 315-324.
20. Mahaffy J.M., Busken T.C. Regions of stability for a linear differential equation with two rationally dependent delays // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2015. Vol. 35. Issue 10. P. 4955-4986. DOI: 10.3934/dcds.2015.35.4955
21. Мулюков М.В. Классификация двупараметрических автономных линейных систем с запаздыванием // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2017. Т. 132. С. 74-76.
22. Мулюков М.В. Структура областей D-разбиения для двупараметрических характеристических уравнений систем с запаздыванием // Функционально-дифференциальные уравнения: теория и приложения: материалы конференции, посвященной 95-летию со дня рождения профессора Н.В. Азбелева. ПНИПУ, Пермь, 2018. С. 180-200.
23. Мулюков М.В. Области D-разбиения с прямолинейными границами // Математика в современном мире: тезисы докладов международной конференции. ИМ СО РАН, Новосибирск, 2017. С. 233.
24. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.
25. Маркушевич A.И. Целые функции. Элементарный очерк. М.: Наука, 1975. 120 с.
26. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1. Функция одного переменного: учебник для университетов. 3-е изд. М.: Наука, 1985. 336 с.
27. Stepan G. Retarded dynamical systems: stability and characteristic functions. Longman Scientific & Technical, 1989. 151 p.
28. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2007. 488 с.
29. Сабатулина Т.Л., Малыгина В.В. Некоторые признаки устойчивости линейных автономных дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием // Изв. вузов. Матем. 2007. №6. С. 55-63.
30. Мулюков М.В. Об асимптотической устойчивости двупараметрических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием // Изв. вузов. Матем. 2014. №6. C. 48-55.
31. Hsu C.S., Bhatt S.J. Stability criteria for second-order dynamical systems with time lag // J. Appl. Mech. 1966. Vol. 33. Issue 1. P. 113-118. DOI: 10.1115/1.3624967
32. Hsu C.S., Bhatt S.J. Stability charts for second-order dynamical systems with time lag // J. Appl. Mech. 1966. Vol. 33. Issue 1. P. 119-124. DOI: 10.1115/1.3624968
33. Баландин А.С., Сабатулина Т.Л. Локальная устойчивость одной модели динамики популяции в условиях воздействия вредных веществ // Сиб. электрон. матем. изв. 2015. Т. 12. C. 610-624. http://mi.mathnet.ru/rus/semr/v12/p610
34. Мулюков М.В. Устойчивость линейного дифференциального уравнения с двукратным запаздыванием // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сборник трудов VIII международной конференции. Издательство «Научная книга», Воронеж, 2015. C. 258-260.
35. Мулюков М.В. Устойчивость одного линейного автономного дифференциального уравнения с сосредоточенным и распределенным запаздыванием // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2015. Т. 20. Вып. 5. C. 1325-1331.
Поступила в редакцию
2018-05-15
Опубликована 2018-05-20
Опубликована 2018-05-20