Задача уклонения в нелинейной дифференциальной игре с дискретным управлением

  • Абдигаппар Якубович Нарманов
    • Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека
  • Кирилл Александрович Щелчков
    • Удмуртский государственный университет
Ключевые слова: дифференциальная игра, нелинейная система, уклонение от встречи, дискретное управление

Аннотация

Рассматривается дифференциальная игра двух лиц, описываемая системой вида $$\dot x = f(x, v) + g(x, u), \quad x \in \mathbb{R}^k, \quad u \in U, \quad v \in V.$$ Множеством значений управлений убегающего является конечное подмножество фазового пространства. Множеством значений управлений преследователя является компактное подмножество фазового пространства. Целью убегающего является уклонение от встречи, то есть обеспечить состояние системы не ближе некоторой окрестности нуля. Получены достаточные условия разрешимости задачи уклонения в классе кусочно-программных стратегий убегающего на бесконечном и любом конечном интервалах времени. Условия накладываются на вектограмму скоростей в нулевой точке фазового пространства. В случае уклонения от встречи на бесконечном интервале времени эти условия обеспечивают некоторое преимущество на убегающего. Для доказательства полученных результатов существенную роль играют свойства положительного базиса.

Литература

1. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.
2. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 520 с.
3. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.
4. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. 2. М.: Наука, 1988. 575 с.
5. Понтрягин Л.С., Мищенко Е.Ф. Задача убегания одного управляемого объекта от другого // Докл. АН СССР. 1969. Т. 189. № 4. С. 721-723.
6. Понтрягин Л.С., Мищенко Е.Ф. Задача об уклонении от встречи в линейных дифференциальных играх // Дифференциальные уравнения. 1971. Т. 7. № 3. С. 436-445.
7. Сатимов Н.Ю., Рихсиев Б.Б. Методы решения задачи уклонения от встречи в математической теории управления. Ташкент: Фан, 2000. 176 с.
8. Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры. Киев: Наукова Думка, 1992. 261 с.
9. Гусятников П.Б. Теория дифференциальных игр. М.: МФТИ, 1982. 99 с.
10. Чикрий А.А. Задача уклонения в нелинейных дифференциальных играх // Кибернетика. 1975. № 3. С. 65-68.
11. Rzymowski W. Method of construction of the evasion strategy for differential game with many pursuers. Warszawa: PWN, 1986. 43 p.
12. Мищенко Е.Ф., Никольский М.С., Сатимов Н.Ю. Задача уклонения от встречи в дифференциальных играх многих лиц // Тр. МИАН СССР. 1977. Т. 143. С. 105-128.
13. Chernousko F.L., Zak V.L. On differential games of evasion from many pursuers // Journal of Optimization Theory and Applications. 1985. Vol. 46. No. 4. P. 461-470. DOI: 10.1007/BF00939151
14. Ibragimov G.I., Hasim R.M. Pursuit and evasion differential games in Hilbert space // International Game Theory Review. 2010. Vol. 12. No. 3. P. 239-251. DOI: 10.1142/S0219198910002647
15. Kumkov S.S., Ménec S.L., Patsko V.S. Zero-sum pursuit-evasion differential games with many objects: survey of publications // Dynamic Games and Applications. 2017. Vol. 7. Issue 4. P. 609-633. DOI: 10.1007/s13235-016-0209-z
16. Brooks R.R., Pang Jing-En, Griffin C. Game and information theory analysis of electronic countermeasures in pursuit-evasion games // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics - Part A: Systems and Humans. 2008. Vol. 38. Issue 6. P. 1281-1294. DOI: 10.1109/TSMCA.2008.2003970
17. Петров Н.Н., Щелчков К.А. О взаимосвязи двух задач уклонения со многими убегающими // Прикладная математика и механика. 2016. Т. 80. Вып. 4. С. 473-479.
18. Петров Н.Н. Об управляемости автономных систем // Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4. № 4. C. 606-617.
19. Петров Н.Н. Локальная управляемость автономных систем // Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4. № 7. С. 1218-1232.
20. Нарманов А.Я., Петров Н.Н. Нелокальные проблемы теории оптимальных процессов. I // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21. № 4. C. 605-614.
21. Нарманов А.Я. О стабильности вполне управляемых систем // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. № 10. C. 1336-1344.
22. Нарманов А.Я. О стабильности вполне управляемых систем // Математические труды. 2001. Т. 4. № 1. C. 94-110.
23. Банников А.С., Петров Н.Н. К нестационарной задаче группового преследования // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 1. C. 40-51.
24. Петров Н.Н. Одна задача простого преследования с фазовыми ограничениями // Автоматика и телемеханика. 1992. № 5. C. 22-26.
25. Петров Н.Н. Одна задача группового преследования с дробными производными и фазовыми ограничениями // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 1. С. 54-59. DOI: 10.20537/vm170105
26. Петров Н.Н., Соловьева Н.А. Многократная поимка в рекуррентном примере Л.С. Понтрягина с фазовыми ограничениями // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21. № 2. С. 178-186.
27. Виноградова М.Н., Петров Н.Н., Соловьева Н.А. Поимка двух скоординированных убегающих в линейных рекуррентных дифференциальных играх // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19. № 1. С. 41-48.
28. Щелчков К.А. Об одной нелинейной задаче преследования с дискретным управлением и неполной информацией // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2018. Т. 28. Вып. 1. С. 111-118. DOI: 10.20537/vm180110
Поступила в редакцию 2018-09-30
Опубликована 2018-11-20
Выпуск
Раздел
Математика
Страницы
75-85