Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы: основные свойства и топологические конструкции

  • Александр Георгиевич Ченцов
    • Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
    • Уральский федеральный университет
Ключевые слова: битопологическое пространство, максимальная сцепленная система, ультрафильтр

Аннотация

Рассматриваются ультрафильтры (максимальные фильтры) и максимальные сцепленные системы на $\pi$-системах с «нулем» и «единицей». Обсуждаются различные варианты топологического оснащения и получающиеся на их основе битопологические пространства. Отмечается, что битопологическоепространство ультрафильтров может рассматриваться как подпространство битопологического пространства максимальных сцепленных систем. Устанавливаются необходимые и достаточные условия максимальности фильтров, а также свойства, характеризующие максимальные сцепленные системы, не являющиеся ультрафильтрами, и выясняются некоторые условия, достаточные для существования таких систем. Указаны условия, при которых битопологические пространства ультрафильтров и максимальных сцепленных систем являются вырожденными (топологии, определяющие соответствующее битопологическое пространство, совпадают), а также условия, гарантирующие невырожденность. Приведен новый вариант свойства плотности исходного множества в пространстве ультрафильтров с топологией волмэновского типа. Данный вариант может использоваться при построении расширений абстрактных задач о достижимости с ограничениями асимптотического характера.

Литература

1. Ченцов А.Г. Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 3. С. 365-388. DOI: 10.20537/vm170307
2. Ченцов А.Г. Суперрасширение как битопологическое пространство // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2017. Т. 49. C. 55-79. DOI: 10.20537/2226-3594-2017-49-03
3. Chentsov A.G. Some representations connected with ultrafilters and maximal linked systems // Ural Mathematical Journal. 2017. Vol. 3. Issue 2. P. 100-121. DOI: 10.15826/umj.2017.2.012
4. Ченцов А.Г. Битопологические пространства ультрафильтров и максимальных сцепленных систем // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24. № 1. C. 257-272. DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-257-272
5. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2005. 402 с.
6. Bell M.G. Compact ccc non-separable spaces of small weight // Topology Proceedings. 1980. Vol. 5. P. 11-25.
7. Грызлов А.А., Бастрыков У.С., Головастов Р.А. О точках одного бикомпактного расширения $N$ // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. Вып. 3. C. 10-17. DOI: 10.20537/vm100302
8. Грызлов А.А., Головастов Р.А. О пространствах Стоуна некоторых булевых алгебр // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2013. Вып. 1. C. 11-16. DOI: 10.20537/vm130102
9. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752 с.
10. de Groot J. Superextensions and supercompactness // Proc. I Intern. Symp. on Extension Theory of Topological Structures and its Applications. Berlin: VEB Deutscher Verlag Wiss., 1969. P. 89-90.
11. van Mill J. Supercompactness and Wallman spaces. Amsterdam: Mathematisch Centrum, 1977. 238 p.
12. Strok M., Szymański A. Compact metric spaces have binary bases // Fundamenta Mathematicae. 1975. Vol. 89. Issue 1. P. 81-91. DOI: 10.4064/fm-89-1-81-91
13. Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Физматлит, 2006. 336 с.
14. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 c.
15. Ченцов А.Г. Некоторые свойства ультрафильтров, связанные с конструкциями расширений // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2014. Вып. 1. C. 87-101. DOI: 10.20537/vm140108
16. Ченцов А.Г. Ультрафильтры измеримых пространств как обобщенные решения в абстрактных задачах о достижимости // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17. № 1. С. 268-293.
17. Ченцов А.Г. Фильтры и ультрафильтры в конструкциях множеств притяжения // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 1. C. 113-142. DOI: 10.20537/vm110112
Поступила в редакцию 2018-08-14
Опубликована 2018-11-20
Выпуск
Раздел
Математика
Страницы
86-102