Численные методы построения функций цены в задачах оптимального управления на бесконечном горизонте

Александр Леонидович Багно; Александр Михайлович Тарасьев

doi:10.20537/2226-3594-2019-53-02

Александр Леонидович Багно
- Уральский федеральный университет
Александр Михайлович Тарасьев
- Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
- Уральский федеральный университет

DOI: https://doi.org/10.20537/2226-3594-2019-53-02

Ключевые слова: оптимальное управление, обобщенные решения уравнений Гамильтона-Якоби, функция цены, аппроксимационные схемы, попятные процедуры

Аннотация

В статье рассматривается задача оптимального управления на бесконечном горизонте, функционал качества которой содержит подынтегральную функцию и дисконтирующий множитель. Особенностью постановки изучаемой задачи является предположение о возможной неограниченности подынтегральной функции. Задача сводится к эквивалентной задаче оптимального управления со стационарной функцией цены как обобщенного (минимаксного, вязкостного) решения уравнения Гамильтона-Якоби, удовлетворяющего условию Гёльдера и условию подлинейного роста. Описывается метод численного приближения обобщенного решения уравнения Гамильтона-Якоби - попятная процедура на бесконечном горизонте. Основным результатом статьи является оценка точности аппроксимации попятной процедурой решения исходной задачи. Задачи исследуемого типа встречаются при моделировании процессов экономического роста и в задачах стабилизации динамических систем. Полученные результаты могут быть использованы при построении численных конечно-разностных схем вычисления функции цены задач оптимального управления или дифференциальных игр.

Литература

1. Aseev S.M., Veliov V.M. Maximum principle for infinite-horizon optimal control problems under weak regularity assumptions // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2015. Vol. 291. Suppl. 1. P. 22-39.
https://doi.org/10.1134/S0081543815090023
2. Crandall M.G., Lions P.-L. Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. Vol. 277. No. 1. P. 1-42.
https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1983-0690039-8
3. Capuzzo Dolcetta I. On a discrete approximation of the Hamilton-Jacobi equation of dynamic programming // Applied Mathematics and Optimization. 1983. Vol. 10. Issue 1. P. 367-377.
https://doi.org/10.1007/BF01448394
4. Capuzzo Dolcetta I., Ishii H. Approximate solution of the Bellman equation of deterministic control theory // Applied Mathematics and Optimization. 1984. Vol. 11. Issue 1. P. 161-181.
https://doi.org/10.1007/BF01442176
5. Falcone M. A numerical approach to the infinite horizon problem of deterministic control theory // Applied Mathematics and Optimization. 1987. Vol. 15. Issue 1. P. 1-13.
https://doi.org/10.1007/BF01442644
6. Skritek B., Veliov V.M. On the infinite-horizon optimal control of age-structured systems // Journal of Optimization Theory and Applications. 2015. Vol. 167. Issue 1. P. 243-271.
https://doi.org/10.1007/s10957-014-0680-x
7. Souganidis P.E. Approximation schemes for viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations // Journal of Differential Equations. 1985. Vol. 59. Issue 1. P. 1-43.
https://doi.org/10.1016/0022-0396(85)90136-6
8. Адиатулина Р.А., Тарасьев А.М. Дифференциальная игра неограниченной продолжительности // Прикладная математика и механика. 1987. Т. 51. Вып. 4. С. 531-537.
9. Асеев С.М., Кряжимский А.В. Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста // Труды МИАН. 2007. Т. 257. С. 3-271.
10. Багно А.Л., Тарасьев А.М. Дискретная аппроксимация уравнения Гамильтона-Якоби для функции цены в задаче оптимального управления с бесконечным горизонтом // Труды ИММ УрО РАН. 2018. Т. 24. № 1. С. 27-39.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-1-27-39
11. Багно А.Л., Тарасьев А.М. Оценка точности попятной процедуры для уравнения Гамильтона-Якоби в задаче оптимального управления с бесконечным горизонтом // Труды МИАН. 2019. Т. 304. С. 123-136.
https://doi.org/10.4213/tm3963
12. Багно А.Л., Тарасьев А.М. Свойства функции цены в задачах оптимального управления с бесконечным горизонтом // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2016. Т. 26. Вып. 1. C. 3-14.
https://doi.org/10.20537/vm160101
13. Багно А.Л., Тарасьев А.М. Свойства стабильности функции цены в задаче оптимального управления с бесконечным горизонтом // Труды ИММ УрО РАН. 2017. Т. 23. № 1. C. 43-56.
14. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960. 400 c.
15. Бесов К.О. О необходимых условиях оптимальности для задач экономического роста с бесконечным горизонтом и локально неограниченной функцией мгновенной полезности // Труды МИАН. 2014. Т. 284. С. 56-88.
https://doi.org/10.1134/S037196851401004X
16. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
17. Тарасьев А.М., Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. Об одном вычислительном алгоритме решения игровых задач управления // Прикладная математика и механика. 1987. Т. 51. № 2. C. 216-222.
18. Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М.: Наука, 1991.
19. Субботин А.И., Тарасьев А.М. Сопряженные производные функции цены дифференциальной игры // Докл. АН СССР. 1985. Т. 283. № 3. С. 559-564.