О спектре двумерного обобщенного периодического оператора Шредингера
Ключевые слова:
обобщенный оператор Шредингера, абсолютная непрерывность спектра, периодический потенциал
Аннотация
Доказана абсолютная непрерывность спектра двумерного обобщенного периодического оператора Шредингера с непрерывной метрикой $g$ и скалярным потенциалом $V$, если коэффициенты Фурье функций $g^{\pm 1/2}$ удовлетворяют условию $\sum |N|^{1/2}|(g^{\pm 1/2})_N|<+\infty $ и скалярный потенциал $V$ имеет нулевую грань относительно оператора $-\Delta $ в смысле квадратичных форм.
Литература
1. Morame A. Absence of singular spectrum for a perturbation of a two-dimensional Laplace–Beltrami operator with periodic electro-magnetic potential // J. Phys. A: Math. Gen. 1998. Vol. 31. P. 7593–7601.
2. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Абсолютная непрерывность двумерного периодического магнитного гамильтониана с разрывным векторным потенциалом // Алгебра и анализ. 1998. Т. 10. № 4. С. 1–36.
3. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Периодический магнитный гамильтониан с переменной метрикой. Проблема абсолютной непрерывности // Алгебра и анализ. 1999. Т. 11. № 2. С. 1–40.
4. Kuchment P., Levendorskii S. On the structure of spectra of periodic elliptic operators // Trans. Amer. Math. Soc. 2002. Vol. 354. № 2. P. 537–569.
5. Бирман М.Ш., Суслина Т.А., Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность двумерного оператора Шредингера с дельта-потенциалом, сосредоточенным на периодической системе кривых // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12. № 6. С. 140–177.
6. Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра двумерного магнитного периодического оператора Шредингера с положительным электрическим потенциалом // Труды С.-Петерб. матем. об–ва. 2001. Т. 9. С. 199–233.
7. Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра двумерного периодического оператора Шредингера с положительным электрическим потенциалом // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13. № 4. С. 196–228.
8. Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра двумерного периодического оператора Шредингера с сильно подчиненным магнитным потенциалом // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2003. Т. 303. С. 279–320.
9. Данилов Л.И. О спектре двумерных периодических операторов Шредингера и Дирака // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2002. Вып. 3 (26). C. 3–98.
10. Данилов Л.И. О спектре двумерного периодического оператора Шредингера // Теор. и матем. физика. 2003. Т. 134. № 3. С. 447–459.
11. Данилов Л.И. Об отсутствии собственных значений в спектре двумерных периодических операторов Дирака и Шредингера // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2004. Вып. 1 (29). C. 49–84.
12. Thomas L.E. Time dependent approach to scattering from impurities in a crystal // Commun. Math. Phys. 1973. Vol. 33. P. 335–343.
13. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4: Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 428 с.
14. Sobolev A.V. Absolute continuity of the periodic magnetic Schrödinger operator // Invent. Math. 1999. Vol. 137. P. 85–112.
15. Shen Z. Absolute continuity of generalized periodic Schrödinger operators // Contemp. Math. 2001. Vol. 277. P. 113–126.
16. Shen Z. The periodic Schrödinger operators with potentials in the Morrey class // J. Funct. Anal. 2002. Vol. 193. P. 314–345.
17. Friedlander L. On the spectrum of a class of second order periodic elliptic differential operators // Commun. Math. Phys. 2002. Vol. 229. P. 49–55.
18. Тихомиров М., Филонов Н. Абсолютная непрерывность «четного» периодического оператора Шредингера с негладкими потенциалами // Алгебра и анализ. 2004. Т. 16. № 3. С. 201–210.
19. Shen Z., Zhao P. Uniform Sobolev inequalities and absolute continuity of periodic operators // Trans. Amer. Math. Soc. 2008. Vol. 360. № 4. P. 1741–1758.
20. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of a periodic magnetic Schrödinger operator // J. Phys. A: Math. Theor. 2009. Vol. 42. 275204.
21. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of three- and four-dimensional periodic Schrödinger operators // J. Phys. A: Math. Theor. 2010. Vol. 43. 215201.
22. Zhao P., Liu W. On absolute continuity of periodic elliptic operators with singularity // Acta Mathematica Scientia. 2010. Vol. 30A. № 1. P. 18–30 (in Chinese).
23. Данилов Л.И. О спектре периодического оператора Шредингера с потенциалом из пространства Морри // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 3. С. 25–47.
24. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2: Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир, 1978. 400 с.
25. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
2. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Абсолютная непрерывность двумерного периодического магнитного гамильтониана с разрывным векторным потенциалом // Алгебра и анализ. 1998. Т. 10. № 4. С. 1–36.
3. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Периодический магнитный гамильтониан с переменной метрикой. Проблема абсолютной непрерывности // Алгебра и анализ. 1999. Т. 11. № 2. С. 1–40.
4. Kuchment P., Levendorskii S. On the structure of spectra of periodic elliptic operators // Trans. Amer. Math. Soc. 2002. Vol. 354. № 2. P. 537–569.
5. Бирман М.Ш., Суслина Т.А., Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность двумерного оператора Шредингера с дельта-потенциалом, сосредоточенным на периодической системе кривых // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12. № 6. С. 140–177.
6. Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра двумерного магнитного периодического оператора Шредингера с положительным электрическим потенциалом // Труды С.-Петерб. матем. об–ва. 2001. Т. 9. С. 199–233.
7. Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра двумерного периодического оператора Шредингера с положительным электрическим потенциалом // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13. № 4. С. 196–228.
8. Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра двумерного периодического оператора Шредингера с сильно подчиненным магнитным потенциалом // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2003. Т. 303. С. 279–320.
9. Данилов Л.И. О спектре двумерных периодических операторов Шредингера и Дирака // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2002. Вып. 3 (26). C. 3–98.
10. Данилов Л.И. О спектре двумерного периодического оператора Шредингера // Теор. и матем. физика. 2003. Т. 134. № 3. С. 447–459.
11. Данилов Л.И. Об отсутствии собственных значений в спектре двумерных периодических операторов Дирака и Шредингера // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2004. Вып. 1 (29). C. 49–84.
12. Thomas L.E. Time dependent approach to scattering from impurities in a crystal // Commun. Math. Phys. 1973. Vol. 33. P. 335–343.
13. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4: Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 428 с.
14. Sobolev A.V. Absolute continuity of the periodic magnetic Schrödinger operator // Invent. Math. 1999. Vol. 137. P. 85–112.
15. Shen Z. Absolute continuity of generalized periodic Schrödinger operators // Contemp. Math. 2001. Vol. 277. P. 113–126.
16. Shen Z. The periodic Schrödinger operators with potentials in the Morrey class // J. Funct. Anal. 2002. Vol. 193. P. 314–345.
17. Friedlander L. On the spectrum of a class of second order periodic elliptic differential operators // Commun. Math. Phys. 2002. Vol. 229. P. 49–55.
18. Тихомиров М., Филонов Н. Абсолютная непрерывность «четного» периодического оператора Шредингера с негладкими потенциалами // Алгебра и анализ. 2004. Т. 16. № 3. С. 201–210.
19. Shen Z., Zhao P. Uniform Sobolev inequalities and absolute continuity of periodic operators // Trans. Amer. Math. Soc. 2008. Vol. 360. № 4. P. 1741–1758.
20. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of a periodic magnetic Schrödinger operator // J. Phys. A: Math. Theor. 2009. Vol. 42. 275204.
21. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of three- and four-dimensional periodic Schrödinger operators // J. Phys. A: Math. Theor. 2010. Vol. 43. 215201.
22. Zhao P., Liu W. On absolute continuity of periodic elliptic operators with singularity // Acta Mathematica Scientia. 2010. Vol. 30A. № 1. P. 18–30 (in Chinese).
23. Данилов Л.И. О спектре периодического оператора Шредингера с потенциалом из пространства Морри // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 3. С. 25–47.
24. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2: Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир, 1978. 400 с.
25. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
Поступила в редакцию
2013-01-15
Опубликована 2013-05-20
Опубликована 2013-05-20