О решении одной задачи оптимизации, порожденной простейшим уравнением теплопроводности

Аннотация

Решение краевой задачи для простейшего уравнения теплопроводности, заданной в прямоугольнике, допускает представление в виде суммы двух слагаемых, которые являются решениями двух краевых задач: в первом случае граничные функции линейны, а во втором -начальная функция равна нулю. Эта специфика позволяет применять для численного решения обеих задач двумерные сплайны. Первая задача исследована в предыдущих работах, где получен экономичный алгоритм ее численного решения, имеющий линейную сложность вычислений. Данное обстоятельство послужило основанием для аналогичных построений при решении второй задачи. Здесь также определено конечномерное пространство сплайнов лагранжевого типа, а в качестве решения предложен оптимальный сплайн, дающий наименьшую невязку. Для коэффициентов этого сплайна и для его невязки получены точные формулы. Формула для коэффициентов сплайна представляет собой линейную форму от исходных конечных разностей, заданных на границе. Формула для невязки представляет собой сумму пяти простых слагаемых и отрицательно определенной квадратичной формы от новых конечных разностей, заданных на границе. Элементы матрицы формы выражаются через многочлены Чебышёва, матрица обратима и такова, что обратная матрица имеет трехдиагональный вид. Эта особенность позволяет получить для спектра матрицы верхние и нижние оценки и показать, что невязка ограничена константой, не зависящей от размерности $N.$ Показано, что союзная невязка стремится к нулю с ростом $N.$ Таким образом, полученный оптимальный сплайн следует считать псевдорешением второй задачи.