Линейно-выпуклые задачи оптимизации гарантии при запаздывании в управлении
Ключевые слова:
теория управления, дифференциальные игры, запаздывание в управлении, позиционные стратегии
Аннотация
Рассматривается задача об управлении в условиях помех движением линейной динамической системы, содержащей запаздывание в управлении. Оптимизируемый показатель качества является нетерминальным и содержит оценку движения системы по совокупности отклонений в заданные моменты времени от заданных целевых точек. В зависимости от структуры показателя качества устанавливается существование оптимальных стратегий управления в подходящих классах стратегий обратной связи. Для приближенного вычисления величины оптимального гарантированного результата и нахождения оптимальных законов управления предлагается процедура попятного построения выпуклых сверху оболочек вспомогательных функций. В случае позиционного показателя качества проводится редукция этой процедуры, существенно понижающая размерность областей определения овыпукляемых функций.
Литература
1. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.
2. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.
3. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 516 c.
4. Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control under lack of information. Berlin etc.: Birkhäuser, 1995. 322 p.
5. Subbotin A.I. Generalized solutions of first-order PDEs: the dynamical optimization perspective. Boston etc.: Birkhäuser, 1995. 312 p.
6. Бердышев Ю.И., Ченцов А.Г. Оптимизация взвешенного критерия в одной задаче управления // Кибернетика. 1986. № 1. С. 59-64.
7. Бердышев Ю.И. Об одной задаче последовательной оптимизации без декомпозиции во времени // Кибернетика. 1987. № 4. С. 32-35.
8. Бердышев Ю.И. Об одной задаче последовательного сближения нелинейной управляемой системы третьего порядка с группой движущихся точек // Прикл. математика и механика. 2002. Т. 66. Вып. 5. С. 742-752.
9. Красовский А.Н. Дифференциальная игра для позиционного функционала // Докл. АН СССР. 1980. T. 253. № 6. C. 1303-1307.
10. Красовский А.Н. О позиционном минимаксном управлении // Прикл. математика и механика. 1980. Т. 44. Вып. 4. С. 602-610.
11. Красовский А.Н. Нелинейная дифференциальная игра с интегральной платой // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. № 8. С. 1306-1312.
12. Красовский Н.Н., Лукоянов Н.Ю. Задача конфликтного управления с наследственной информацией // Прикл. математика и механика. 1996. Т. 60. Вып. 6. С. 885-900.
13. Kharatishvili G.L. A maximum principle in external problems with delays // Mathematical Theory on Control. New York: Academic Press, 1967. P. 26-34.
14. Halanay A. Optimal controls for systems with time lag // SIAM J. Control. 1968. Vol. 6. № 2. P. 215-234.
15. Вежбицки А. Принцип максимума для процессов с нетривиальным запаздыванием управления // Автомат. и телемех. 1970. № 10. С. 13-20.
16. Banks H.T., Jakobs M.Q., Latina M.R. The synthesis of optimal controls for linear, time-optimal problems with retarded controls // J. Optim. Theor. Appl. 1971. Vol. 8. № 5. P. 319-366.
17. Klamka J. Relative controllability and minimum energy control of linear systems with distributed delays in control // IEEE Trans. Autom. Contr. 1976. Vol. 21. № 4. P. 594-595.
18. Осипов Ю.С., Пименов В.Г. К теории дифференциальных игр в системах с последействием // Прикл. математика и механика. 1978. Т. 42. Вып. 6. С. 969-977.
19. Olbrot A.W. Stabilizability, detectability, and spectrum assignment for linear autonomous systems with general time delays // IEEE Trans. Autom. Contr. 1978. Vol. 23. № 5. P. 887-890.
20. Artstein Z. Linear systems with delayed controls: a reduction // IEEE Trans. Autom. Contr. 1982. Vol. 27. № 4. P. 869-879.
21. Kwon W., Pearson A. Feedback stabilization of linear systems with delayed control // IEEE Trans. Autom. Contr. 1980. Vol. 25. № 2. P. 266-269.
22. Осипов Ю.С., Пименов В.Г. О позиционном управлении при последействии в управляющих силах // Прикл. математика и механика. 1981. Т. 45. Вып. 2. С. 223-229.
23. Vinter R.B., Kwong R.H. The infinite time quadratic control problem for linear systems with state and control delays: an evolution equation approach // SIAM J. Control and Optim. 1981. Vol. 19. № 1. P. 139-153.
24. Pritchard A.J., Salamon D. The linear-quadratic control problem for retarded systems with delays in control and observation // IMA J. Math. Control & Information. 1985. Vol. 2. P. 335-362.
25. Пименов В.Г. Дифференциальная игра с фиксированным временем окончания для систем с последействием в управлении // Задачи позиционного моделирования. Свердловск, 1986. С. 103-118.
26. Delfour M.C., Karrakchou J. State space theory of linear time invariant systems with delays in state, control, and observation variables, I; II // J. Math. Anal. Appl. 1987. Vol. 125. № 2. P. 361-399; P. 400-450.
27. Pandolfi L. Dynamic stabilization of systems with input delays // Automatica. 1991. Vol. 27. № 6. P. 1047-1050.
28. Mirkin L., Tadmor G. $H^\infty$ control of system with I/O delay: a review of some problem-oriented methods // IMA J. Math. Control & Information. 2002. Vol. 19. P. 185-199.
29. Federico S., Tacconi E. Dynamic programming for optimal control problems with delays in the control variable // SIAM J. Control Optim. 2014. Vol. 52. № 2. P. 1203-1236.
30. Fleming W.H. The convergence problem for differential games // J. Math. Anal. Appl. 1961. № 3. P. 102-116.
31. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх, 1; 2. // Докл. АН СССР. 1967. Т. 174. № 6. С. 1278-1280; T. 175. № 4. С. 764-766.
32. Пшеничный Б.Н. Структура дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1969. Т. 184. № 2. С. 285-187.
33. Пшеничный Б.Н., Сагайдак М.И. О дифференциальных играх с фиксированным временем // Кибернетика. 1970. № 2. С. 54-63.
34. Friedman A. Differential games. New York: Wiley Interscience, 1971. 368 p.
35. Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования // Мат. сб. 1980. Т. 112. № 3. С. 307-330.
36. Ушаков В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. № 4. С. 29-36.
37. Исакова Е.А., Логунова Г.В., Пацко В.С. Построение стабильных мостов в линейной дифференциальной игре с фиксированным моментом окончания // Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984. С. 127-158.
38. Григоренко Н.Л., Киселев Ю.Н., Лагунова Н.В., Силин Д.Б. и др. Методы решения дифференциальных игр // Математическое моделирование. М.: Изд-во МГУ, 1993. С. 296-316.
39. Пацко В.С., Турова В.Л. Численное решение дифференциальных игр на плоскости. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1995. 77 с.
40. Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. О приближенном построении решений в игровых задачах управления // Прикл. математика и механика. 1997. Т. 61. Вып. 3. С. 413-421.
41. Половинкин Е.С., Иванов Г.Е., Балашов М.В., Константинов Р.В., Хорев А.В. Об одном алгоритме численного решения линейных дифференциальных игр // Мат. сб. 2001. Т. 192. № 10. С. 95-122.
42. Kumkov S.S., Patsko V.S. Construction of singular surfaces in linear differential games // Annals of the Intern. Soc. of Dynamic Games: Adv. in Dynamic Games and Applications. 2001. Vol. 6. P. 185-202.
43. Михалев Д.К., Ушаков В.Н. О двух алгоритмах приближенного построения множества позиционного поглощения в игровой задаче сближения // Автомат. и телемех. 2007. № 11. С. 178-194.
44. Двуреченский П.Е., Иванов Г.Е. Алгоритмы вычисления операторов Минковского и их применение в дифференциальных играх // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2014. Т. 54. № 2. С. 224-255.
45. Тарасьев А.М. Аппроксимационные схемы построения минимаксных решений уравнений Гамильтона-Якоби // Прикл. математика и механика. 1994. Т. 58. Вып. 2. С. 22-36.
46. Тарасьев А.М., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Аппроксимационные схемы и конечно-разностные операторы для построения обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби // Изв. РАН: Техн. кибернетика. 1994. № 3. С. 173-185.
47. Bardi M., Falcone M., Soravia P. Numerical methods for pursuit-evasion games via viscosity solutions // Stochastic and Differential Games. Boston: Birkhäuser, 1999. P. 105-175.
48. Иванов Г.Е., Казеев В.А. Минимаксный алгоритм построения оптимальной стратегии управления в дифференциальной игре с липшицевой платой // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2011. Т. 51. № 4. С. 594-619.
49. Botkin N.D., Hoffmann K.-H., Turova V.L. Stable numerical schemes for solving Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs equations // SIAM J. Sci. Comput. 2011. Vol. 33. № 2. P. 992-1007.
50. Ченцов А.Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени // Мат. сб. 1976. Т. 99. № 3. С. 394-420.
51. Чистяков С.В. К решению игровых задач преследования // Прикл. математика и механика. 1977. Т. 41. Вып. 5. С. 825-832.
52. Cardaliaguet P., Quincampoix M., Saint-Pierre P. Set-valued numerical analysis for optimal control and differential games // Stochastic and differential games. Boston: Birkhäuser, 1999. P. 177-247.
53. Красовский А.Н. Построение смешанных стратегий на основе стохастических программ // Прикл. математика и механика. 1987. Т. 51. Вып. 2. С. 186-192.
54. Лукоянов Н.Ю. К вопросу вычисления цены дифференциальной игры для позиционного функционала // Прикл. математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 2. С. 188-198.
55. Красовский Н.Н., Третьяков В.Е. Стохастический программный синтез для позиционной дифференциальной игры // Докл. АН СССР. 1981. Т. 259. № 1. С. 24-27.
56. Красовский Н.Н., Решетова Т.Н. О программном синтезе гарантирующего управления // Проблемы управления и теории информации. 1988. Т. 17. № 6. С. 1-11.
57. Коврижных А.Ю. К задаче конфликтного управления с квазипозиционным функционалом // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2000. Т. 6. № 2. С. 394-412.
58. Локшин М.Д. О дифференциальных играх с интегральными ограничениями на управляющие воздействия // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 11. С. 1952-1961.
59. Лукоянов Н.Ю. К задаче конфликтного управления при смешанных ограничениях // Прикл. математика и механика. 1995. Т. 59. Вып. 6. С. 955-964.
60. Лукоянов Н.Ю. О построении цены позиционной дифференциальной игры // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. № 1. С. 18-26.
61. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. Об устойчивости одной процедуры решения задачи управления на минимакс позиционного функционала // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20. № 1. С. 68-82.
62. Корнев Д.В. О численном решении позиционных дифференциальных игр с нетерминальной платой // Автомат. и телемех. 2012. № 11. С. 60-75.
63. Гомоюнов М.И., Корнев Д.В., Лукоянов Н.Ю. О численном решении задачи управления на минимакс позиционного функционала // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20. № 3. С. 58-75.
64. Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479 с.
65. Гомоюнов М.И., Корнев Д.В. К вопросу вычисления цены дифференциальной игры в классе контрстратегий // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19. № 1. С. 59-68.
66. Корнев Д.В., Лукоянов Н.Ю. О численном решении дифференциальных игр с нетерминальной платой в классах смешанных стратегий // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2013. № 3. С. 34-48.
67. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.
68. Гомоюнов М.И. К задаче оптимизации гарантии в системе с запаздыванием по управлению // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. № 3. С. 21-36.
69. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. Оптимизация гарантии в функционально-дифференциальных системах с последействием по управлению // Прикл. математика и механика. 2012. Т. 76. Вып. 4. С. 515-525.
70. Гомоюнов М.И. Об оптимизации гарантированного результата при запаздывании в управлении // Прикл. математика и механика. 2013. Т. 77. Вып. 5. С. 643-656.
71. Gomoyunov M., Kornev D., Lukoyanov N. Game theory applications to guarantee optimization in dynamical systems with control delays // International Game Theory Review. 2014. Vol. 16. № 2. 1440010 (19 p.).
72. Лукоянов Н.Ю. Об одной дифференциальной игре с интегральным критерием качества // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 11. С. 1905-1913.
73. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 c.
74. Фань-Цзы. Теоремы о минимаксе // Бесконечные антагонистические игры. М.: Физматгиз, 1963. С. 31-39.
2. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.
3. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 516 c.
4. Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control under lack of information. Berlin etc.: Birkhäuser, 1995. 322 p.
5. Subbotin A.I. Generalized solutions of first-order PDEs: the dynamical optimization perspective. Boston etc.: Birkhäuser, 1995. 312 p.
6. Бердышев Ю.И., Ченцов А.Г. Оптимизация взвешенного критерия в одной задаче управления // Кибернетика. 1986. № 1. С. 59-64.
7. Бердышев Ю.И. Об одной задаче последовательной оптимизации без декомпозиции во времени // Кибернетика. 1987. № 4. С. 32-35.
8. Бердышев Ю.И. Об одной задаче последовательного сближения нелинейной управляемой системы третьего порядка с группой движущихся точек // Прикл. математика и механика. 2002. Т. 66. Вып. 5. С. 742-752.
9. Красовский А.Н. Дифференциальная игра для позиционного функционала // Докл. АН СССР. 1980. T. 253. № 6. C. 1303-1307.
10. Красовский А.Н. О позиционном минимаксном управлении // Прикл. математика и механика. 1980. Т. 44. Вып. 4. С. 602-610.
11. Красовский А.Н. Нелинейная дифференциальная игра с интегральной платой // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. № 8. С. 1306-1312.
12. Красовский Н.Н., Лукоянов Н.Ю. Задача конфликтного управления с наследственной информацией // Прикл. математика и механика. 1996. Т. 60. Вып. 6. С. 885-900.
13. Kharatishvili G.L. A maximum principle in external problems with delays // Mathematical Theory on Control. New York: Academic Press, 1967. P. 26-34.
14. Halanay A. Optimal controls for systems with time lag // SIAM J. Control. 1968. Vol. 6. № 2. P. 215-234.
15. Вежбицки А. Принцип максимума для процессов с нетривиальным запаздыванием управления // Автомат. и телемех. 1970. № 10. С. 13-20.
16. Banks H.T., Jakobs M.Q., Latina M.R. The synthesis of optimal controls for linear, time-optimal problems with retarded controls // J. Optim. Theor. Appl. 1971. Vol. 8. № 5. P. 319-366.
17. Klamka J. Relative controllability and minimum energy control of linear systems with distributed delays in control // IEEE Trans. Autom. Contr. 1976. Vol. 21. № 4. P. 594-595.
18. Осипов Ю.С., Пименов В.Г. К теории дифференциальных игр в системах с последействием // Прикл. математика и механика. 1978. Т. 42. Вып. 6. С. 969-977.
19. Olbrot A.W. Stabilizability, detectability, and spectrum assignment for linear autonomous systems with general time delays // IEEE Trans. Autom. Contr. 1978. Vol. 23. № 5. P. 887-890.
20. Artstein Z. Linear systems with delayed controls: a reduction // IEEE Trans. Autom. Contr. 1982. Vol. 27. № 4. P. 869-879.
21. Kwon W., Pearson A. Feedback stabilization of linear systems with delayed control // IEEE Trans. Autom. Contr. 1980. Vol. 25. № 2. P. 266-269.
22. Осипов Ю.С., Пименов В.Г. О позиционном управлении при последействии в управляющих силах // Прикл. математика и механика. 1981. Т. 45. Вып. 2. С. 223-229.
23. Vinter R.B., Kwong R.H. The infinite time quadratic control problem for linear systems with state and control delays: an evolution equation approach // SIAM J. Control and Optim. 1981. Vol. 19. № 1. P. 139-153.
24. Pritchard A.J., Salamon D. The linear-quadratic control problem for retarded systems with delays in control and observation // IMA J. Math. Control & Information. 1985. Vol. 2. P. 335-362.
25. Пименов В.Г. Дифференциальная игра с фиксированным временем окончания для систем с последействием в управлении // Задачи позиционного моделирования. Свердловск, 1986. С. 103-118.
26. Delfour M.C., Karrakchou J. State space theory of linear time invariant systems with delays in state, control, and observation variables, I; II // J. Math. Anal. Appl. 1987. Vol. 125. № 2. P. 361-399; P. 400-450.
27. Pandolfi L. Dynamic stabilization of systems with input delays // Automatica. 1991. Vol. 27. № 6. P. 1047-1050.
28. Mirkin L., Tadmor G. $H^\infty$ control of system with I/O delay: a review of some problem-oriented methods // IMA J. Math. Control & Information. 2002. Vol. 19. P. 185-199.
29. Federico S., Tacconi E. Dynamic programming for optimal control problems with delays in the control variable // SIAM J. Control Optim. 2014. Vol. 52. № 2. P. 1203-1236.
30. Fleming W.H. The convergence problem for differential games // J. Math. Anal. Appl. 1961. № 3. P. 102-116.
31. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх, 1; 2. // Докл. АН СССР. 1967. Т. 174. № 6. С. 1278-1280; T. 175. № 4. С. 764-766.
32. Пшеничный Б.Н. Структура дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1969. Т. 184. № 2. С. 285-187.
33. Пшеничный Б.Н., Сагайдак М.И. О дифференциальных играх с фиксированным временем // Кибернетика. 1970. № 2. С. 54-63.
34. Friedman A. Differential games. New York: Wiley Interscience, 1971. 368 p.
35. Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования // Мат. сб. 1980. Т. 112. № 3. С. 307-330.
36. Ушаков В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. № 4. С. 29-36.
37. Исакова Е.А., Логунова Г.В., Пацко В.С. Построение стабильных мостов в линейной дифференциальной игре с фиксированным моментом окончания // Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984. С. 127-158.
38. Григоренко Н.Л., Киселев Ю.Н., Лагунова Н.В., Силин Д.Б. и др. Методы решения дифференциальных игр // Математическое моделирование. М.: Изд-во МГУ, 1993. С. 296-316.
39. Пацко В.С., Турова В.Л. Численное решение дифференциальных игр на плоскости. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1995. 77 с.
40. Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. О приближенном построении решений в игровых задачах управления // Прикл. математика и механика. 1997. Т. 61. Вып. 3. С. 413-421.
41. Половинкин Е.С., Иванов Г.Е., Балашов М.В., Константинов Р.В., Хорев А.В. Об одном алгоритме численного решения линейных дифференциальных игр // Мат. сб. 2001. Т. 192. № 10. С. 95-122.
42. Kumkov S.S., Patsko V.S. Construction of singular surfaces in linear differential games // Annals of the Intern. Soc. of Dynamic Games: Adv. in Dynamic Games and Applications. 2001. Vol. 6. P. 185-202.
43. Михалев Д.К., Ушаков В.Н. О двух алгоритмах приближенного построения множества позиционного поглощения в игровой задаче сближения // Автомат. и телемех. 2007. № 11. С. 178-194.
44. Двуреченский П.Е., Иванов Г.Е. Алгоритмы вычисления операторов Минковского и их применение в дифференциальных играх // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2014. Т. 54. № 2. С. 224-255.
45. Тарасьев А.М. Аппроксимационные схемы построения минимаксных решений уравнений Гамильтона-Якоби // Прикл. математика и механика. 1994. Т. 58. Вып. 2. С. 22-36.
46. Тарасьев А.М., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Аппроксимационные схемы и конечно-разностные операторы для построения обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби // Изв. РАН: Техн. кибернетика. 1994. № 3. С. 173-185.
47. Bardi M., Falcone M., Soravia P. Numerical methods for pursuit-evasion games via viscosity solutions // Stochastic and Differential Games. Boston: Birkhäuser, 1999. P. 105-175.
48. Иванов Г.Е., Казеев В.А. Минимаксный алгоритм построения оптимальной стратегии управления в дифференциальной игре с липшицевой платой // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2011. Т. 51. № 4. С. 594-619.
49. Botkin N.D., Hoffmann K.-H., Turova V.L. Stable numerical schemes for solving Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs equations // SIAM J. Sci. Comput. 2011. Vol. 33. № 2. P. 992-1007.
50. Ченцов А.Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени // Мат. сб. 1976. Т. 99. № 3. С. 394-420.
51. Чистяков С.В. К решению игровых задач преследования // Прикл. математика и механика. 1977. Т. 41. Вып. 5. С. 825-832.
52. Cardaliaguet P., Quincampoix M., Saint-Pierre P. Set-valued numerical analysis for optimal control and differential games // Stochastic and differential games. Boston: Birkhäuser, 1999. P. 177-247.
53. Красовский А.Н. Построение смешанных стратегий на основе стохастических программ // Прикл. математика и механика. 1987. Т. 51. Вып. 2. С. 186-192.
54. Лукоянов Н.Ю. К вопросу вычисления цены дифференциальной игры для позиционного функционала // Прикл. математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 2. С. 188-198.
55. Красовский Н.Н., Третьяков В.Е. Стохастический программный синтез для позиционной дифференциальной игры // Докл. АН СССР. 1981. Т. 259. № 1. С. 24-27.
56. Красовский Н.Н., Решетова Т.Н. О программном синтезе гарантирующего управления // Проблемы управления и теории информации. 1988. Т. 17. № 6. С. 1-11.
57. Коврижных А.Ю. К задаче конфликтного управления с квазипозиционным функционалом // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2000. Т. 6. № 2. С. 394-412.
58. Локшин М.Д. О дифференциальных играх с интегральными ограничениями на управляющие воздействия // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 11. С. 1952-1961.
59. Лукоянов Н.Ю. К задаче конфликтного управления при смешанных ограничениях // Прикл. математика и механика. 1995. Т. 59. Вып. 6. С. 955-964.
60. Лукоянов Н.Ю. О построении цены позиционной дифференциальной игры // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. № 1. С. 18-26.
61. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. Об устойчивости одной процедуры решения задачи управления на минимакс позиционного функционала // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20. № 1. С. 68-82.
62. Корнев Д.В. О численном решении позиционных дифференциальных игр с нетерминальной платой // Автомат. и телемех. 2012. № 11. С. 60-75.
63. Гомоюнов М.И., Корнев Д.В., Лукоянов Н.Ю. О численном решении задачи управления на минимакс позиционного функционала // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20. № 3. С. 58-75.
64. Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479 с.
65. Гомоюнов М.И., Корнев Д.В. К вопросу вычисления цены дифференциальной игры в классе контрстратегий // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19. № 1. С. 59-68.
66. Корнев Д.В., Лукоянов Н.Ю. О численном решении дифференциальных игр с нетерминальной платой в классах смешанных стратегий // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2013. № 3. С. 34-48.
67. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.
68. Гомоюнов М.И. К задаче оптимизации гарантии в системе с запаздыванием по управлению // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. № 3. С. 21-36.
69. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. Оптимизация гарантии в функционально-дифференциальных системах с последействием по управлению // Прикл. математика и механика. 2012. Т. 76. Вып. 4. С. 515-525.
70. Гомоюнов М.И. Об оптимизации гарантированного результата при запаздывании в управлении // Прикл. математика и механика. 2013. Т. 77. Вып. 5. С. 643-656.
71. Gomoyunov M., Kornev D., Lukoyanov N. Game theory applications to guarantee optimization in dynamical systems with control delays // International Game Theory Review. 2014. Vol. 16. № 2. 1440010 (19 p.).
72. Лукоянов Н.Ю. Об одной дифференциальной игре с интегральным критерием качества // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 11. С. 1905-1913.
73. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 c.
74. Фань-Цзы. Теоремы о минимаксе // Бесконечные антагонистические игры. М.: Физматгиз, 1963. С. 31-39.
Поступила в редакцию
2015-04-29
Опубликована 2015-05-20
Опубликована 2015-05-20