Рекуррентные и почти автоморфные сечения многозначных отображений

  • Леонид Иванович Данилов
    • Физико-технический институт УрО РАН
Ключевые слова: рекуррентная функция, почти автоморфная функция, сечение, многозначное отображение

Аннотация

Пусть $(U,\rho )$ - полное метрическое пространство, $({\mathrm {cl}}_{\, b}\, U,{\mathrm {dist}})$ - метрическое пространство непустых замкнутых ограниченных подмножеств пространства $U$ с метрикой Хаусдорфа ${\mathrm {dist}}$. На множестве $M({\mathbb R},U)$ сильно измеримых функций $f\colon{\mathbb R}\to U$ рассматривается метрика $d^{(\rho )},$ сходимость в которой эквивалентна сходимости по мере Лебега на каждом отрезке $[-l,l]$, $l>0$. Аналогично определяется метрика $d^{({\mathrm {dist}})}$ на множестве $M({\mathbb R},{\mathrm {cl}}_{\, b}\, U)$ сильно измеримых многозначных отображений $f\colon{\mathbb R}\to {\mathrm {cl}}_{\, b}\, U$ (рассматриваемых как функции со значениями в ${\mathrm {cl}}_{\, b}\, U$). Пространства $M({\mathbb R},U)$ и $M({\mathbb R},{\mathrm {cl}}_{\, b}\, U)$ являются фазовыми пространствами динамических систем сдвигов. Для многозначного рекуррентного типа Степанова отображения $F\in {\mathcal R}({\mathbb R},{\mathrm {cl}}_{\, b}\, U)\subseteq M({\mathbb R},{\mathrm {cl}}_{\, b}\, U)$ и для любых $x_0\in U$ и неубывающей функции $\eta \colon[0,+\infty )\to [0,+\infty ),$ для которой $\eta (0)=0$ и $\eta (\xi )>0$ при $\xi >0$, доказано существование гомоморфизма динамических систем ${\mathcal F}\colon\overline {{\mathrm {orb}}\, F}=\overline {\{ F(\cdot +t)\colon t\in {\mathbb R}\} }\to M({\mathbb R},U),$ для которого $({\mathcal F}F^{\, \prime })(t)\in F^{\, \prime }(t)$ и $\rho (({\mathcal F}F^{\, \prime })(t),x_0)\leqslant \rho (x_0,F^{\, \prime }(t))+\eta \bigl( \rho (x_0,F^{\, \prime }(t))\bigr) $ при всех $F^{\, \prime }\in \overline {{\mathrm {orb}}\, F}$ и п.в. $t\in {\mathbb R}$. При этом ${\mathcal F}F^{\, \prime }$ - рекуррентные типа Степанова функции. Если $F$ - почти автоморфное типа Степанова многозначное отображение, то ${\mathcal F}F$ - почти автоморфная типа Степанова функция.

Литература

1. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. 456 с.
2. Данилов Л.И. Рекуррентные и почти рекуррентные многозначные отображения и их сечения // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 2. С. 19-51.
3. Данилов Л.И. Рекуррентные и почти рекуррентные многозначные отображения и их сечения. III // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2014. Вып. 4. С. 25-52.
4. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. Идеи и проблемы П.Л. Чебышёва и А.А. Маркова и их дальнейшее развитие. М.: Наука, 1973. 551 с.
5. Данилов Л.И. Равномерная аппроксимация рекуррентных и почти рекуррентных функций // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2013. Вып. 4. С. 36-54.
6. N'Guerekata G.M. Comments on almost automorphic and almost periodic functions in Banach spaces // Far East Journal of Mathematical Sciences. 2005. Vol. 17. № 3. P. 337-344.
7. Левитан Б.М. Почти-периодические функции. М.: ГИТТЛ, 1953. 396 с.
8. Болес Басит Р. Связь между почти периодическими функциями Левитана и почти автоморфными функциями // Вестник Московского университета. Сер. Матем. Мех. 1971. Т. 24. № 4. С. 11-15.
9. N'Guerekata G.M., Pankov A. Stepanov-like almost automorphic functions and monotone evolution equations // Nonlinear Analysis. 2008. Vol. 68. P. 2658-2667.
Поступила в редакцию 2015-09-10
Опубликована 2015-11-20
Выпуск
Раздел
Математика
Страницы
45-52