Характеристики инвариантности множества достижимости управляемой системы

Аннотация

Изучаются характеристики, связанные с инвариантностью или слабой инвариантностью заданного множества $\mathfrak M\doteq\bigl\{(t,x)\in [0,+\infty)\times\mathbb R^n: x\in M(t)\bigr\}$ относительно управляемой системы $\dot x=f(t,x,u)$ на конечном промежутке времени. Одной из таких характеристик является относительная частота ${\rm freq}_{[\tau,\tau+\vartheta]}(D,M)$ поглощения множества достижимости $D(t,X)$ данной системы множеством $\mathfrak M$ на отрезке $[\tau,\tau+\vartheta]$, равная отношению меры Лебега тех $t$ из $[\tau,\tau+\vartheta]$, при которых $D(t,X)\subseteq M(t)$, к длине данного отрезка. Другая характеристика, ${\rm freq}_{\vartheta}(D,M)\doteq\inf\limits_{\tau\geqslant\,0}\, {\rm freq}_{[\tau,\tau+\vartheta]}(D,M)$ отображает свойство равномерности пребывания множества достижимости $D(t,X)$ в множестве $\mathfrak M$ на отрезке заданной длины $\vartheta$. Доказаны теоремы об оценке и вычислении этих характеристик для различных многозначных функций $M(t)$ и $D(t,X)$. В частности, получены равенства для нахождения ${\rm freq}_{T}(D,M)$ для функции $M(t)$, периодической с периодом $T$ и функции $D(t,X),$ которая при всех $t\geqslant 0$ удовлетворяет включению $D(t+T,X)\subseteq D(t,X)$. Рассмотрены примеры вычисления и оценок данных характеристик.