Некоторые вопросы теории дифференциальных игр с фазовыми ограничениями

  • Александр Георгиевич Ченцов
    • Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
    • Уральский федеральный университет
Ключевые слова: альтернатива, дифференциальная игра, квазистратегия, метод программных итераций, релаксация задачи сближения

Аннотация

Рассматривается дифференциальная игра (ДИ) сближения-уклонения, а также ее релаксации, конструируемые с учетом соображений приоритетности в вопросах реализации наведения на целевое множество (ЦМ) и соблюдения фазовых ограничений (ФО). Относительно ЦМ предполагается замкнутость в естественной топологии пространства позиций, а относительно множества, определяющего ФО, постулируется замкнутость сечений, отвечающих фиксации моментов времени. Для такой постановки с использованием метода программных итераций (МПИ) установлен вариант альтернативы в некоторых естественных классах стратегий игроков (аналог альтернативы Н.Н. Красовского, А.И. Субботина). Рассматривается схема релаксации игровой задачи сближения для общего случая нелинейной ДИ с незамкнутым, вообще говоря, множеством, определяющим ФО. При построении релаксаций учитываются соображения, связанные с приоритетностью в «степени» осуществления наведения на ЦМ и соблюдения ФО (исследуется случай «несимметричного» ослабления условий окончания игры). Вводится функция позиции, значения которой (с «поправкой» на приоритетность) играют всякий раз роль аналога наименьшего размера окрестностей ЦМ и множества, задающего ФО, при которых еще возможно гарантированное решение релаксированной задачи игрока, заинтересованного в сближении с ЦМ при соблюдении ФО. Показано, что значение данной функции (при фиксации позиции игры) является ценой ДИ на минимакс-максимин функционала качества, который характеризует как «степень» сближения с ЦМ, так и «степень» соблюдения исходных ФО.

Литература

1. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Альтернатива для игровой задачи сближения // Прикладная математика и механика. 1970. Т. 34. № 6. C. 1005-1022.
2. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
3. Кряжимский А.В. К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения // Доклады АН СССР. 1978. T. 239. № 4. C. 779-782.
http://mi.mathnet.ru/dan41626
4. Ченцов А.Г. О структуре одной игровой задачи сближения // Доклады АН СССР. 1975. Т. 224. № 6. С. 1272-1275.
http://mi.mathnet.ru/dan39354
5. Ченцов А.Г. К игровой задаче наведения // Доклады АН СССР. 1976. Т. 226. № 1. С. 73-76.
http://mi.mathnet.ru/dan39693
6. Ченцов А.Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени // Матем. сб. 1976. Т. 99 (141). № 3. С. 394-420.
http://mi.mathnet.ru/msb2757
7. Чистяков С.В. К решению игровых задач преследования // Прикладная математика и механика. 1977. Т. 41. № 5. С. 825-832.
8. Ухоботов В.И. Построение стабильного моста для одного класса линейных игр // Прикладная математика и механика. 1977. Т. 41. № 2. С. 358-364.
9. Ченцов А.Г. Об игровой задаче сближения к заданному моменту времени // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1978. Т. 42. Вып. 2. C. 455-467.
http://mi.mathnet.ru/izv1773
10. Ченцов А.Г. Метод программных итераций в игровой задаче наведения // Труды ИММ УрО РАН. 2016. Т. 22. № 2. С. 304-321.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2016-22-2-304-321
11. Ченцов А.Г., Хачай Д.М. Релаксация дифференциальной игры сближения-уклонения и методы итераций // Труды ИММ УрО РАН. 2018. Т. 24. № 4. C. 246-269.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-4-246-269
12. Chentsov A., Khachay D. Program iterations method and relaxation of a pursuit-evasion differential game // Advanced control techniques in complex engineering systems: Theory and applications. Cham: Springer, 2019. P. 129-161.
https://doi.org/10.1007/978-3-030-21927-7_7
13. Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967.
14. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970.
15. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985.
16. Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control under lack of information. Basel: Birkhäuser, 1995.
https://doi.org/10.1007/978-1-4612-2568-3
17. Лукоянов Н.Ю. Функциональные уравнения Гамильтона-Якоби и задачи управления с наследственной информацией. Екатеринбург: УрФУ, 2011.
18. Chikrii A.A. Conflict-controlled processes. Boston-London-Dordrecht: Springer Science and Business Media, 2013.
19. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.
20. Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М.: Наука, 1991.
21. Субботин А.И. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с полной памятью // Доклады АН СССР. 1972. Т. 206. № 3. C. 552-555.
http://mi.mathnet.ru/dan37142
22. Красовский Н.Н. Дифференциальная игра сближения-уклонения, I // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1973. № 2. C. 3-18.
23. Красовский Н.Н. Дифференциальная игра сближения-уклонения, II // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1973. № 3. C. 22-42.
24. Fleming W.H. The convergence problem for differential games // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1961. Vol. 3. Issue 1. P. 102-116.
https://doi.org/10.1016/0022-247X(61)90009-9
25. Fridman A. Differential games. New York: Wiley-Interscience, 1971.
26. Roxin E. Axiomatic approach in differential games // Journal of Optimization Theory and Applications. 1969. Vol. 3. No. 3. P. 153-163.
https://doi.org/10.1007/BF00929440
27. Elliott R.J., Kalton N.J. The existence of value in differential games of pursuit and evasion // Journal of Differential Equations. 1972. Vol. 12. Issue 3. P. 504-523.
https://doi.org/10.1016/0022-0396(72)90022-8
28. Ryll-Nardzewski C. A theory of pursuit and evasion // Advances in game theory. Vol. 52. Princeton University Press, 1964. P. 113-127.
29. Elliott R.J., Kalton N.J. The existence of value in differential games // Memoirs of the AMS. No. 126. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1972.
https://bookstore.ams.org/memo-1-126/
30. Ченцов А.Г. Итерации стабильности и задача уклонения с ограничением на число переключений // Труды ИММ УрО РАН. 2017. Т. 23. № 2. С. 285-302.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-2-285-302
31. Ченцов А.Г. Итерации стабильности и задача уклонения с ограничением на число переключений формируемого управления // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2017. Т. 49. C. 17-54.
https://doi.org/10.20537/2226-3594-2017-49-02
32. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.
33. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1977.
34. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970.
35. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964.
36. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.
37. Ченцов А.Г. Об альтернативе в классе квазистратегий для дифференциальной игры сближения-уклонения // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. № 10. C. 1801-1808.
http://mi.mathnet.ru/de4097
38. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.
39. Энгелькинг Р. Общая топология. M.: Мир, 1986.
40. Chentsov A.G., Morina S.I. Extensions and relaxations. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Acad. Publ., 2002.
41. Ченцов A.Г. Метод программных итераций для дифференциальной игры сближения-уклонения. Деп. в ВИНИТИ, № 1933-79 / Уральский политехнический институт им. С.М. Кирова. Свердловск, 1979. 103 c.
Поступила в редакцию 2020-10-02
Опубликована 2020-11-20
Выпуск
Раздел
Математика
Страницы
138-184