Критерий равномерной глобальной достижимости линейных систем

Аннотация

В статье рассматривается линейная нестационарная управляемая система с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами $$\dot x =A(t)x+ B(t)u, \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad u\in\mathbb{R}^m,\quad t\geqslant 0. \qquad(1)$$ Управление в системе $(1)$ строится по принципу линейной обратной связи $u=U(t)x$ с измеримой и ограниченной матричной функцией $U(t)$, $t\geqslant 0$. Для замкнутой системы $$\dot x =(A(t)+B(t)U(t))x, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad t\geqslant 0, \qquad(2)$$ устанавливается критерий ее равномерной глобальной достижимости. Это свойство означает существование такого $T>0$, что для всяких положительных чисел $\alpha$ и $\beta$ найдется $d=d(\alpha,\beta)>0$, обеспечивающее при всяком $t_0\geqslant 0$ и произвольной $(n\times n)$-матрице $H$, $\|H\|\leqslant\alpha$, $\det H\geqslant\beta$, возможность построения измеримого на $[t_0,t_0+T]$ матричного управления $U(\cdot)$, для которого справедлива оценка $\sup\limits_{t\in [t_0,t_0+T]}\|U(t)\|\leqslant d$ и равенство $X_U(t_0+T,t_0)=H$, где $X_U$ - матрица Коши системы $(2)$. Доказательство критерия основано на полученной в работе теореме о представлении всякой $(n\times n)$-матрицы с положительным определителем в виде произведения девяти верхне- и нижнетреугольных матриц с положительными диагональными элементами и дополнительными условиями на норму и определитель этих матриц.