Исследование разностного уравнения Шрёдингера для некоторых физических моделей
Ключевые слова:
разностное уравнение Шрёдингера, резонанс, собственное значение, уравнение Липпмана-Швингера, рассеяние, вероятности прохождения и отражения
Аннотация
В статье рассматривается дискретный оператор Шрёдингера на графе с вершинами на двух пересекающихся прямых, возмущенный убывающим потенциалом. Исследуются спектральные свойства этого оператора. Исследуется задача рассеяния для данного оператора в случае малого потенциала, а также в случае, когда малы как потенциал, так и скорость квантовой частицы. Получены асимптотические формулы для вероятностей распространения частицы во всех возможных направлениях. Кроме того, исследуются спектральные свойства дискретного оператора Шрёдингера для бесконечной полосы с нулевыми граничными условиями. Описана картина рассеяния. Получены простые формулы для вероятностей прохождения и отражения вблизи граничных точек подзон (это отвечает малым скоростям квантовой частицы) в случае малых потенциалов. Рассматривается одночастичный дискретный оператор Шрёдингера с периодическим потенциалом, возмущенным функцией, периодической по двум переменным и экспоненциально убывающей по третьей. Исследуется задача рассеяния для данного оператора вблизи точки экстремума по третьей координате квазиимпульса некоторого собственного значения оператора Шрёдингера с периодическим потенциалом в ячейке, то есть для малой перпендикулярной составляющей угла падения частицы на потенциальный барьер. Получены простые формулы для вероятностей прохождения и отражения.
Литература
1. Buttiker M., Imry Y., Landauer R., Pinhas S. Generalizet many-channel conductance formula with application to small rings // Phys. Rev. B. 1985. Vol. 31. № 10. P. 6207-6215.
2. Miroshnichenko A.E., Kivshar Y.S. Engineering Fano resonances in discrete arrays // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72. № 5. 056611 (7 p).
3. Bellissard J., Schulz-Baldes H. Scattering theory for lattice operators in dimension $d\geqslant 3$ // Rev. Math. Phys. 2012. Vol. 24. 1250020 (51 p).
4. Karachalios N.I. The number of bound states for a discrete Schrödinger operator on $Z_N$, $N\geqslant 1$, lattices // J. Phys. A: Math. Theor. 2008. Vol. 41. № 45. 455201.
5. Ziletti A., Borgonovi F., Celardo G.L., Izrailev F.M., Karlan L., Zelevinsky V.G. Coherent transport in multi-branch circuits // Phys. Rev. B. 2012. Vol. 85. № 5. 052201 (5 p).
6. Ptitsyna N., Shipman S.P. A lattice model for resonance in open periodic waveguides // arXiv: 1101.0170v1 [math-ph]. 2010.
7. Чубурин Ю.П. Об одном дискретном операторе Шрёдингера на графе // Теор. и матем. физика. 2010. Т. 165. № 1. С. 119-133.
8. Арсеньев А.А. Резонансы и туннелирование при рассеянии на квантовом бильярде в приближении сильной связи // Теор. и матем. физика. 2004. Т. 141. № 1. C. 100-112.
9. Лакаев С.Н., Халхужаев А.М. О спектре двухчастичного оператора Шрёдингера на решетке // Теор. и матем. физика. 2008. Т. 155. № 2. С. 287-300.
10. Chung F., Yau S.-T. Discrete Green's Function // Journal of Combinatorial Theory, Series A. 2000. Vol. 91. № 1-2. P. 191-214.
11. Rivkind A., Krivolapov Y., Fishman S., Soffer A. Eigenvalue repulsion estimates and some applications for the one-dimensional Anderson model // J. Phys. A.: Math. Theor. 2011. Vol. 44. № 30. 305206 (19 p).
12. Rabinovich V.S., Roch S. Essential spectra and exponential estimates of eigenfunctions of lattice operators of quantum mechanics // J. Phys. A: Math. Theor. 2009. Vol. 42. № 38. 385207 (21 p).
13. Dutkay D.E., Jorgensen P.E.T. Spectral theory for discrete Laplacians // Complex Analysis and Operator Theory. 2010. Vol. 4. № 1. P. 1-38.
14. Evans M., Harrell II. On the behavior at infinity of solutions to difference equations in Schrödinger form // arXiv:1109.4691v1 [math.CA]. 2011.
15. Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 360 c.
16. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 3. Теория рассеяния. М.: Мир, 1982. 446 c.
17. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 428 c.
18. Тинюкова Т.С., Чубурин Ю.П. Квазиуровни дискретного оператора Шрёдингера с убывающим потенциалом на графе // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные Науки. 2009. Вып. 3. С. 104-113.
19. Тинюкова Т.С. Квазиуровни дискретного оператора Шрёдингера для квантового волновода // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 2. С. 88-97.
20. Тинюкова Т.С. Уравнение Липпмана-Швингера для квантовых проволок // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 1. С. 99-104.
21. Тинюкова Т.С. Рассеяние в случае дискретного оператора Шрёдингера для пересекающихся квантовых проволок // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 3. С. 74-84.
22. Тинюкова Т.С. Дискретное уравнение Шрёдингера для квантового волновода // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 4. С. 80-93.
23. Tinyukova T.S., Chuburin Yu.P. Electron scattering by a crystal layer // Theor. Math. Phys. 2013. Vol. 176. № 3. P. 1207-1219.
24. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шрёдингера. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 392 с.
25. Baranova L.Y., Chuburin Y.P. Quasi-levels of the two-particle discrete Schrödinger operator with a perturbed periodic potential // J. Phys. A.: Math. Theor. 2008. Vol. 41. 435205 (11 p).
26. Альбеверио С., Гестези Ф., Хёэг-Крон Р., Хольден Х. Решаемые модели в квантовой механике. М.: Мир, 1991. 568 с.
27. Гатауллин Т.М., Карасев М.В. О возмущении квазиуровней оператора Шрёдингера с комплексным потенциалом // Теор. и матем. физика. 1971. Т. 9. № 2. С. 252-263.
28. Тейлор Дж. Теория рассеяния. Квантовая теория нерелятивистских столкновений. М.: Мир, 1975. 567 с.
29. Ганнинг Р., Росси Х. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969. 395 c.
30. Морозова Л.Е., Чубурин Ю.П. Об уровнях одномерного дискретного оператора Шрёдингера с убывающим потенциалом // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2004. Вып. 1 (29). С. 85-94.
31. Чубурин Ю.П. О малых возмущениях оператора Шрёдингера с периодическим потенциалом // Теор. и матем. физика. 1997. Т. 110. № 3. C. 443-453.
32. Chuburin Yu.P. On levels of a weakly perturbed periodic Schrödinger operator // Commun. Math. Phys. 2004. Vol. 249. P. 497-510.
33. Чубурин Ю.П. О решениях уравнения Шрёдингера в случае полуограниченного кристалла // Теор. и матем. физика. 1994. Т. 98. № 1. С. 38-47.
34. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 512 c.
35. Schwartz L. Theorie des distributions a valeurs vectoriels I // Ann. Inst. Fourier. 1958. Vol. 7. P. 1-142.
36. Schwartz L. Theorie des distributions a valeurs vectoriels II // Ann. Inst. Fourier. 1958. Vol. 8. P. 1-210.
37. Grothendieck А. Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires. American Mathematical Society, 1979.
38. Шефер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971. 360 с.
2. Miroshnichenko A.E., Kivshar Y.S. Engineering Fano resonances in discrete arrays // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72. № 5. 056611 (7 p).
3. Bellissard J., Schulz-Baldes H. Scattering theory for lattice operators in dimension $d\geqslant 3$ // Rev. Math. Phys. 2012. Vol. 24. 1250020 (51 p).
4. Karachalios N.I. The number of bound states for a discrete Schrödinger operator on $Z_N$, $N\geqslant 1$, lattices // J. Phys. A: Math. Theor. 2008. Vol. 41. № 45. 455201.
5. Ziletti A., Borgonovi F., Celardo G.L., Izrailev F.M., Karlan L., Zelevinsky V.G. Coherent transport in multi-branch circuits // Phys. Rev. B. 2012. Vol. 85. № 5. 052201 (5 p).
6. Ptitsyna N., Shipman S.P. A lattice model for resonance in open periodic waveguides // arXiv: 1101.0170v1 [math-ph]. 2010.
7. Чубурин Ю.П. Об одном дискретном операторе Шрёдингера на графе // Теор. и матем. физика. 2010. Т. 165. № 1. С. 119-133.
8. Арсеньев А.А. Резонансы и туннелирование при рассеянии на квантовом бильярде в приближении сильной связи // Теор. и матем. физика. 2004. Т. 141. № 1. C. 100-112.
9. Лакаев С.Н., Халхужаев А.М. О спектре двухчастичного оператора Шрёдингера на решетке // Теор. и матем. физика. 2008. Т. 155. № 2. С. 287-300.
10. Chung F., Yau S.-T. Discrete Green's Function // Journal of Combinatorial Theory, Series A. 2000. Vol. 91. № 1-2. P. 191-214.
11. Rivkind A., Krivolapov Y., Fishman S., Soffer A. Eigenvalue repulsion estimates and some applications for the one-dimensional Anderson model // J. Phys. A.: Math. Theor. 2011. Vol. 44. № 30. 305206 (19 p).
12. Rabinovich V.S., Roch S. Essential spectra and exponential estimates of eigenfunctions of lattice operators of quantum mechanics // J. Phys. A: Math. Theor. 2009. Vol. 42. № 38. 385207 (21 p).
13. Dutkay D.E., Jorgensen P.E.T. Spectral theory for discrete Laplacians // Complex Analysis and Operator Theory. 2010. Vol. 4. № 1. P. 1-38.
14. Evans M., Harrell II. On the behavior at infinity of solutions to difference equations in Schrödinger form // arXiv:1109.4691v1 [math.CA]. 2011.
15. Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 360 c.
16. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 3. Теория рассеяния. М.: Мир, 1982. 446 c.
17. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 428 c.
18. Тинюкова Т.С., Чубурин Ю.П. Квазиуровни дискретного оператора Шрёдингера с убывающим потенциалом на графе // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные Науки. 2009. Вып. 3. С. 104-113.
19. Тинюкова Т.С. Квазиуровни дискретного оператора Шрёдингера для квантового волновода // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 2. С. 88-97.
20. Тинюкова Т.С. Уравнение Липпмана-Швингера для квантовых проволок // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 1. С. 99-104.
21. Тинюкова Т.С. Рассеяние в случае дискретного оператора Шрёдингера для пересекающихся квантовых проволок // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 3. С. 74-84.
22. Тинюкова Т.С. Дискретное уравнение Шрёдингера для квантового волновода // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 4. С. 80-93.
23. Tinyukova T.S., Chuburin Yu.P. Electron scattering by a crystal layer // Theor. Math. Phys. 2013. Vol. 176. № 3. P. 1207-1219.
24. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шрёдингера. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 392 с.
25. Baranova L.Y., Chuburin Y.P. Quasi-levels of the two-particle discrete Schrödinger operator with a perturbed periodic potential // J. Phys. A.: Math. Theor. 2008. Vol. 41. 435205 (11 p).
26. Альбеверио С., Гестези Ф., Хёэг-Крон Р., Хольден Х. Решаемые модели в квантовой механике. М.: Мир, 1991. 568 с.
27. Гатауллин Т.М., Карасев М.В. О возмущении квазиуровней оператора Шрёдингера с комплексным потенциалом // Теор. и матем. физика. 1971. Т. 9. № 2. С. 252-263.
28. Тейлор Дж. Теория рассеяния. Квантовая теория нерелятивистских столкновений. М.: Мир, 1975. 567 с.
29. Ганнинг Р., Росси Х. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969. 395 c.
30. Морозова Л.Е., Чубурин Ю.П. Об уровнях одномерного дискретного оператора Шрёдингера с убывающим потенциалом // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2004. Вып. 1 (29). С. 85-94.
31. Чубурин Ю.П. О малых возмущениях оператора Шрёдингера с периодическим потенциалом // Теор. и матем. физика. 1997. Т. 110. № 3. C. 443-453.
32. Chuburin Yu.P. On levels of a weakly perturbed periodic Schrödinger operator // Commun. Math. Phys. 2004. Vol. 249. P. 497-510.
33. Чубурин Ю.П. О решениях уравнения Шрёдингера в случае полуограниченного кристалла // Теор. и матем. физика. 1994. Т. 98. № 1. С. 38-47.
34. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 512 c.
35. Schwartz L. Theorie des distributions a valeurs vectoriels I // Ann. Inst. Fourier. 1958. Vol. 7. P. 1-142.
36. Schwartz L. Theorie des distributions a valeurs vectoriels II // Ann. Inst. Fourier. 1958. Vol. 8. P. 1-210.
37. Grothendieck А. Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires. American Mathematical Society, 1979.
38. Шефер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971. 360 с.
Поступила в редакцию
2013-08-21
Опубликована 2013-11-20
Опубликована 2013-11-20