О спектре релятивистского гамильтониана Ландау с периодическим электрическим потенциалом

Аннотация

Рассматривается двумерный оператор Дирака $\widehat \sigma _1\bigl( -i\, \frac {\partial } {\partial x_1}\bigr) +\widehat \sigma _2\bigl( -i\, \frac {\partial }{\partial x_2}-Bx_1\bigr) +m\widehat \sigma _3+ V\widehat I_2$ с однородным магнитным полем $B$ с потоком $\eta =(2\pi )^{-1}Bv(K)\in {\mathbb Q} $ через элементарную ячейку $K$ общей решетки периодов $\Lambda $ функции $m$ и электрического потенциала $V$; $\widehat \sigma _j$, $j=1,2,3$, - матрицы Паули, $\widehat I_2$ - единичная $2\times 2$-матрица, $v(K)$ - площадь элементарной ячейки $K$. Предполагается, что $m$ и $V$ принадлежат пространству $L^p_{\Lambda }({\mathbb R}^2;{\mathbb R} )$ периодических с решеткой периодов $\Lambda $ функций из $L^p_{\mathrm {loc}}({\mathbb R}^2;{\mathbb R} )$, $p$ > $2$. Для невозрастающей функции $(0,1]\ni \varepsilon \mapsto {\mathcal R}(\varepsilon )\in (0,+\infty )$, для которой ${\mathcal R}(\varepsilon )\to +\infty $ при $\varepsilon \to +0$, пусть ${\mathfrak M}^p_{\Lambda }({\mathcal R}(\cdot ))$ - множество функций $m\in L^p_{\Lambda }({\mathbb R}^2;{\mathbb R} )$ таких, что для любого $\varepsilon \in (0,1]$ найдется тригонометрический многочлен ${\mathcal P}^{(\varepsilon )}\in L^p_{\Lambda }({\mathbb R}^2;{\mathbb R} )$, для которого $\| m-{\mathcal P}^{(\varepsilon )}\|_{L^p(K)}$ < $\varepsilon $ и все коэффициенты Фурье ${\mathcal P}^{(\varepsilon )}_Y=0$ при $|Y|$ > ${\mathcal R}(\varepsilon )$. Доказано, что для любой рассматриваемой функции ${\mathcal R}(\cdot )$ в банаховом пространстве $(L^p_{\Lambda } ({\mathbb R}^2;{\mathbb R}),\| \cdot \| _{L^p(K)})$ существует множество второй категории (плотное $G_{\delta }$-множество) ${\mathcal O}$ такое, что для любого электрического потенциала $V\in {\mathcal O}$, любой функции $m\in {\mathfrak M}^p_{\Lambda }({\mathcal R}(\cdot ))$ и любого однородного магнитного поля $B$ с потоком $\eta \in {\mathbb Q} $ спектр оператора Дирака абсолютно непрерывен.