О непрерывной зависимости от параметра множества решений операторного уравнения

Аннотация

Для отображений, действующих из метрического пространства $(X,\rho_X)$ в пространство $Y$, на котором определено расстояние (то есть отображение $d\colon X\times X \to \mathbb{R}_+$ такое, что $d(x,u)=0 \Leftrightarrow x=u$), определяется следующий аналог свойства накрывания. Множеством $\alpha$-накрывания отображения $f\colon X\to Y$ названо множество $$\mathrm{Cov}_{\alpha}[f]=\{(x,\tilde{y})\in X \times Y \colon \exists \tilde{x} \in X \ f(\tilde{x})=\tilde{y}, \ \rho_{X} (\tilde{x},x)\leqslant{\alpha}^{-1} d_{Y}\bigl(\tilde{y},f(x)\bigr)\}.$$ Для заданных $\tilde{y}\in Y$, $\Phi\colon X \times X \to Y$ рассматривается уравнение $\Phi(x,x)=\tilde{y}$. Сформулирована теорема о существовании решения. Исследуется проблема устойчивости решений к малым изменениям отображения $\Phi$. А именно, рассмотрена последовательность таких отображений $\Phi_{n}\colon X \times X \to Y$, $n=1,2,\ldots,$ что для всех $x\in X $ выполнено $(x,\tilde{y})\in \mathrm{Cov}_{\alpha}\big[\Phi_n(\cdot,x)\big]$, отображение $\Phi_n(x,\cdot)$ является $\beta$-липшицевым и для решения $x^{*}$ исходного уравнения имеет место сходимость $d_{Y}\big(\tilde{y}, \Phi_{n}(x^{*},x^{*})\big)\to 0$. При выполнении этих условий утверждается, что при любом $n$ существует $x^{*}_{n}$ такой, что $\Phi_{n}(x^{*}_{n},x^{*}_{n})=\tilde{y}$ и $\{x^{*}_{n}\}$ сходится к $x^{*}$ в метрическом пространстве $X$. Также в статье рассмотрено уравнение $\Phi(x,x,t)=\tilde{y}$ с параметром $t$ - элементом топологического пространства. Предполагается, что $(x,\tilde{y})\in \mathrm{Cov}_{\alpha}\big[\Phi_n(\cdot,x,t)\big]$, отображение $\Phi_n(x,\cdot,t)$ является $\beta$-липшицевым, а отображение $\Phi_n(x,x,\cdot)$ - непрерывным. Доказаны утверждения о полунепрерывной сверху и снизу зависимости множества решений от параметра $t$.