Начальная задача для квазилинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных высшего порядка с вырожденным ядром
Ключевые слова:
начальная задача, характеристики, производная по направлению, суперпозиция дифференциальных операторов, вырожденное ядро, однозначная разрешимость
Аннотация
Изучена однозначная разрешимость начальной задачи для одного квазилинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных высшего порядка с вырожденным ядром. Выражение дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка через суперпозицию дифференциальных операторов в частных производных первого порядка позволило применять методов решения дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Доказана теорема об однозначной разрешимости поставленной начальной задачи методом последовательных приближений. Получена оценка сходимости итерационного процесса Пикара. Показана устойчивость решения начальной задачи по второму аргументу.
Литература
1. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006. 248 с.
2. Замышляева А.А. Математические модели соболевского типа высокого порядка // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия «Математическое моделирование и программирование». 2014. Т. 7. № 2. С. 5-28. http://mi.mathnet.ru/vyuru126
3. Benney D.J., Luke J.C. On the interactions of permanent waves of finite amplitude // Journal of Mathematics and Physics. 1964. Vol. 43. P. 309-313. DOI: 10.1002/sapm1964431309
4. Galaktionov V.A., Mitidieri E., Pohozaev S.I. Global sign-changing solutions of a higher order semilinear heat equation in the subcritical Fujita range // Advanced Nonlinear Studies. 2012. Vol. 12. No. 3. P. 569-596. DOI: 10.1515/ans-2012-0308
5. Каримов Ш.Т. Об одном методе решения задачи Коши для одномерного поливолнового уравнения с сингулярным оператором Бесселя // Известия вузов. Математика. 2017. № 8. С. 27-41. http://mi.mathnet.ru/ivm9266
6. Кошанов Б.Д., Солдатов А.П. Краевая задача с нормальными производными для эллиптического уравнения высокого порядка на плоскости // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. № 12. С. 1666-1681. DOI: 10.1134/S0374064116120074
7. Похожаев С.И. О разрешимости квазилинейных эллиптических уравнений произвольного порядка // Математический сборник. 1982. Т. 117 (159). № 2. С. 251-265. http://mi.mathnet.ru/msb2202
8. Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. Киев: Наукова думка, 1973. 219 c.
9. Юлдашев Т.К. Смешанная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения с параболическим оператором высокой степени // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52. № 1. С. 112-123. http://mi.mathnet.ru/zvmmf9641
10. Юлдашева А.В. Об одной задаче для квазилинейного уравнения четного порядка // Итоги науки и техники. Серия «Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры». Т. 140. М.: ВИНИТИ РАН, 2017. С. 43-49. http://mi.mathnet.ru/into233
11. Горицкий А.Ю., Кружков С.Н., Чечкин Г.А. Уравнения с частными производными первого порядка. М.: Издательство Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 1999. 96 с.
12. Иманалиев М.И., Ведь Ю.А. О дифференциальном уравнении в частных производных первого порядка с интегральным коэффициентом // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. № 3. С. 465-477. http://mi.mathnet.ru/de6793
13. Иманалиев М.И., Алексеенко С.Н. К теории систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных типа Уизема // Доклады РАН. 1992. Т. 325. № 6. С. 1111-1115. http://mi.mathnet.ru/dan5418
14. Донцова М.В. Условия нелокальной разрешимости задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с правыми частями специального вида // Уфимский математический журнал. 2014. Т. 6. № 4. С. 71-82.
15. Юлдашев Т.К. Об обратной задаче для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 2 (18). С. 56-62. http://mi.mathnet.ru/vtgu253
16. Юлдашев Т.К. Об обратной задаче для системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия «Математика. Механика. Физика». 2012. Вып. 6. С. 35-41. http://mi.mathnet.ru/vyurm104
17. Юлдашев Т.К. Обобщенная разрешимость смешанной задачи для нелинейного интегро-дифференциального уравнения высокого порядка с вырожденным ядром // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2017. Т. 50. С. 121-132. DOI: 10.20537/2226-3594-2017-50-10
18. Юлдашев Т.К. Смешанная задача для псевдопараболического интегро-дифференциального уравнения с вырожденным ядром // Дифференциальные уравнения. 2017. Т. 53. № 1. С. 101-110. DOI: 10.1134/S0374064117010095
19. Yuldashev T.K. Determination of the coefficient and boundary regime in boundary value problem for integro-differential equation with degenerate kernel // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2017. Vol. 38. No. 3. P. 547-553. DOI: 10.1134/S199508021703026X
20. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.
21. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Минимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени $T$ интеграла от модуля производной производимого смещением граничного управления, возведенного в произвольную степень $p \geqslant 1$ // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. № 11. С. 1558-1570. http://mi.mathnet.ru/de11597
22. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничного управления колебаниями струны упругой силой // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. № 12. С. 1699-1711. http://mi.mathnet.ru/de11610
2. Замышляева А.А. Математические модели соболевского типа высокого порядка // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия «Математическое моделирование и программирование». 2014. Т. 7. № 2. С. 5-28. http://mi.mathnet.ru/vyuru126
3. Benney D.J., Luke J.C. On the interactions of permanent waves of finite amplitude // Journal of Mathematics and Physics. 1964. Vol. 43. P. 309-313. DOI: 10.1002/sapm1964431309
4. Galaktionov V.A., Mitidieri E., Pohozaev S.I. Global sign-changing solutions of a higher order semilinear heat equation in the subcritical Fujita range // Advanced Nonlinear Studies. 2012. Vol. 12. No. 3. P. 569-596. DOI: 10.1515/ans-2012-0308
5. Каримов Ш.Т. Об одном методе решения задачи Коши для одномерного поливолнового уравнения с сингулярным оператором Бесселя // Известия вузов. Математика. 2017. № 8. С. 27-41. http://mi.mathnet.ru/ivm9266
6. Кошанов Б.Д., Солдатов А.П. Краевая задача с нормальными производными для эллиптического уравнения высокого порядка на плоскости // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. № 12. С. 1666-1681. DOI: 10.1134/S0374064116120074
7. Похожаев С.И. О разрешимости квазилинейных эллиптических уравнений произвольного порядка // Математический сборник. 1982. Т. 117 (159). № 2. С. 251-265. http://mi.mathnet.ru/msb2202
8. Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. Киев: Наукова думка, 1973. 219 c.
9. Юлдашев Т.К. Смешанная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения с параболическим оператором высокой степени // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52. № 1. С. 112-123. http://mi.mathnet.ru/zvmmf9641
10. Юлдашева А.В. Об одной задаче для квазилинейного уравнения четного порядка // Итоги науки и техники. Серия «Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры». Т. 140. М.: ВИНИТИ РАН, 2017. С. 43-49. http://mi.mathnet.ru/into233
11. Горицкий А.Ю., Кружков С.Н., Чечкин Г.А. Уравнения с частными производными первого порядка. М.: Издательство Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 1999. 96 с.
12. Иманалиев М.И., Ведь Ю.А. О дифференциальном уравнении в частных производных первого порядка с интегральным коэффициентом // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. № 3. С. 465-477. http://mi.mathnet.ru/de6793
13. Иманалиев М.И., Алексеенко С.Н. К теории систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных типа Уизема // Доклады РАН. 1992. Т. 325. № 6. С. 1111-1115. http://mi.mathnet.ru/dan5418
14. Донцова М.В. Условия нелокальной разрешимости задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с правыми частями специального вида // Уфимский математический журнал. 2014. Т. 6. № 4. С. 71-82.
15. Юлдашев Т.К. Об обратной задаче для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 2 (18). С. 56-62. http://mi.mathnet.ru/vtgu253
16. Юлдашев Т.К. Об обратной задаче для системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия «Математика. Механика. Физика». 2012. Вып. 6. С. 35-41. http://mi.mathnet.ru/vyurm104
17. Юлдашев Т.К. Обобщенная разрешимость смешанной задачи для нелинейного интегро-дифференциального уравнения высокого порядка с вырожденным ядром // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2017. Т. 50. С. 121-132. DOI: 10.20537/2226-3594-2017-50-10
18. Юлдашев Т.К. Смешанная задача для псевдопараболического интегро-дифференциального уравнения с вырожденным ядром // Дифференциальные уравнения. 2017. Т. 53. № 1. С. 101-110. DOI: 10.1134/S0374064117010095
19. Yuldashev T.K. Determination of the coefficient and boundary regime in boundary value problem for integro-differential equation with degenerate kernel // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2017. Vol. 38. No. 3. P. 547-553. DOI: 10.1134/S199508021703026X
20. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.
21. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Минимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени $T$ интеграла от модуля производной производимого смещением граничного управления, возведенного в произвольную степень $p \geqslant 1$ // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. № 11. С. 1558-1570. http://mi.mathnet.ru/de11597
22. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничного управления колебаниями струны упругой силой // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. № 12. С. 1699-1711. http://mi.mathnet.ru/de11610
Поступила в редакцию
2018-04-23
Опубликована 2018-11-20
Опубликована 2018-11-20