Об одной задаче, относящейся к диофантовым уравнениям второго порядка
Ключевые слова:
cистемы диофантовых уравнений, рекуррентные соотношения, числа Фибоначчи и Лукаса
Аннотация
В работе рассматривается сформулированная В.Н. Ушаковым задача о поиске треугольников с целыми длинами сторон $a$, $b$, $c$, удовлетворяющими соотношениям $a^2=b^2+c^2+k$ и $\dfrac{a}{c}=\dfrac{3}{2}$, где $k$ - целое число, отличное от нуля. В работе приводится необходимое и достаточное условие на число $k$, при котором такие треугольники существуют. Доказательство имеет конструктивный характер и позволяет, в случае выполнения критерия, указать бесконечное число троек $(a,b,c)$, удовлетворяющих указанному свойству.
Литература
1. Ушаков В.Н. Египетские треугольники и числа Фибоначчи // Империя математики. 2001. № 11. С. 21-50.
2. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. М.: Гостехиздат, 1957.
3. Хинчин А.Я. Цепные дроби. М.: ГИФМЛ, 1960.
4. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. М.: Наука, 1978.
5. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. М.: Наука, 1966.
6. Латушкин Я.А., Ушаков В.Н. О представлении чисел Фибоначчи и Люка в виде суммы трех квадратов // Математические заметки. 2012. Т. 91. Вып. 5. С. 711-719.
https://doi.org/10.4213/mzm9359
7. Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел. М.: Изд-во АН СССР, 1959.
8. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. М.: Наука, 1965.
2. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. М.: Гостехиздат, 1957.
3. Хинчин А.Я. Цепные дроби. М.: ГИФМЛ, 1960.
4. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. М.: Наука, 1978.
5. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. М.: Наука, 1966.
6. Латушкин Я.А., Ушаков В.Н. О представлении чисел Фибоначчи и Люка в виде суммы трех квадратов // Математические заметки. 2012. Т. 91. Вып. 5. С. 711-719.
https://doi.org/10.4213/mzm9359
7. Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел. М.: Изд-во АН СССР, 1959.
8. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. М.: Наука, 1965.
Поступила в редакцию
2019-09-26
Опубликована 2019-11-20
Опубликована 2019-11-20