Об одном дополнении к оценке Л.С. Понтрягина геометрической разности множеств на плоскости

Аннотация

В работе рассматриваются два обобщения выпуклых множеств на плоскости. Первым обобщением являются $\alpha$-множества. Они представляют собой множества, которые допускают существование нескольких проекций на себя из произвольной точки на плоскости. Однако, эти проекции должны быть видны из этой точки под углом, не превышающим некоторого значения $\alpha$. Второе обобщение представляет собой ослабление определения выпуклых множеств, согласно которому отрезок, соединяющий две точки выпуклого множества, также находится внутри него. Рассмотрены центрально симметричные множества, для которых это утверждение выполняется только для двух точек, лежащих по разные стороны некоторой заданной прямой. Для этих двух типов невыпуклых множеств рассмотрена задача нахождения максимального по площади подмножества. Решение данной задачи может быть полезно для нахождения субоптимальных решений задач оптимизации и, в частности, линейного программирования. Доказано обобщение оценки Понтрягина для геометрической разности $\alpha$-множества и круга в $\mathbb{R}^2$. Кроме того, в качестве следствие приведено утверждение о том, что $\alpha$-множество на плоскости обязательно содержит ненулевую точку с целочисленными координатами в случае, если его площадь превышает некоторое критическое значение. Это следствие представляет собой одно из обобщений теоремы Минковского для невыпуклых множеств.