О суперкомпактности пространства ультрафильтров с топологией волмэновского типа
Ключевые слова:
максимальная сцепленная система, топология, ультрафильтр
Аннотация
Рассматриваются ультрафильтры и максимальные сцепленные системы широко понимаемых измеримых пространств (имеются в виду непустые множества с $\pi$-системами своих подмножеств). Множества ультрафильтров и максимальных сцепленных систем превращаются в битопологические пространства в результате применения конструкций, на идейном уровне отвечающих схемам Волмэна и Стоуна. Основное внимание уделяется пространству ультрафильтров в оснащении топологией волмэновского типа. Получены условия на исходную $\pi$-систему, при которых данное пространство суперкомпактно. Указаны конкретные классы (широко понимаемых) измеримых пространств, для которых реализуются упомянутые условия. Исследуется также одна абстрактная задача о достижимости в условиях, когда выбор конкретного варианта решения может обладать неопределенностью следующего типа: множество, задающее ограничение может быть любым в пределах заданного априори непустого семейства. Рассматривается вопрос о существовании универсально реализуемых (в пределе) элементов пространства значений целевого оператора задачи. При получении достаточных условий использовалось свойство суперкомпактности пространства ультрафильтров измеримой структуры, достаточной (в рамках соответствующих предположений) для реализации всех возможных вариантов ограничений на выбор обычного решения (управления).
Литература
1. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2005.
2. Ченцов А.Г. Об одном примере представления пространства ультрафильтров алгебры множеств // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17. № 4. С. 293-311.
http://mi.mathnet.ru/timm771
3. Ченцов А.Г. Ультрафильтры измеримых пространств как обобщенные решения в абстрактных задачах о достижимости // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17. № 1. C. 268-293.
http://mi.mathnet.ru/timm689
4. Ченцов А.Г. Об одном представлении результатов действия приближенных решений в задаче с ограничениями асимптотического характера // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17. № 2. C. 225-239.
http://mi.mathnet.ru/timm709
5. Пыткеев Е.Г., Ченцов А.Г. К вопросу о структуре ультрафильтров и свойствах, связанных со сходимостью в топологических пространствах // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20. № 2. C. 250-267.
http://mi.mathnet.ru/timm1075
6. Ченцов А.Г., Пыткеев Е.Г. Некоторые топологические конструкции расширений абстрактных задач о достижимости // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2014. T. 20. № 4. C. 312-329.
http://mi.mathnet.ru/timm1136
7. Грызлов А.А., Бастрыков Е.С., Головастов Р.А. О точках одного бикомпактного расширения $N$ // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. Вып. 3. C. 10-17.
https://doi.org/10.20537/vm100302
8. Грызлов А.А., Головастов Р.А. О пространствах Стоуна некоторых булевых алгебр // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2013. Вып. 1. C. 11-16.
https://doi.org/10.20537/vm130102
9. Головастов Р.А. О пространстве Стоуна одной булевой алгебры // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 3. C. 19-24.
https://doi.org/10.20537/vm120303
10. Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Физматлит, 2006.
11. de Groot J. Superextensions and supercompactness // Proc. I. Intern. Symp. on extension theory of topological structures and its applications. Berlin: VEB Deutscher Verlag Wis., 1969. P. 89-90.
12. van Mill J. Supercompactness and Wallman spaces. Amsterdam: Mathematisch Centrum, 1977.
13. Strok M., Szymański A. Compact metric spaces have binary bases // Fund. Math. 1975. Vol. 89. No. 1. P. 81-91.
https://doi.org/10.4064/fm-89-1-81-91
14. Ченцов А.Г. Суперрасширение как битопологическое пространство // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2017. Т. 49. C. 55-79.
https://doi.org/10.20537/2226-3594-2017-49-03
15. Ченцов А.Г. Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы множеств // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 3. С. 365-388.
https://doi.org/10.20537/vm170307
16. Chentsov A.G. Some representations connected with ultrafilters and maximal linked systems // Ural Mathematical Journal. 2017. Vol. 3. No. 2. P. 100-121.
https://doi.org/10.15826/umj.2017.2.012
17. Ченцов А.Г. Битопологические пространства ультрафильтров и максимальных сцепленных систем // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24. № 1. C. 257-272.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-1-257-272
18. Ченцов А.Г. Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы: основные свойства и топологические конструкции // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2018. Т. 52. C. 86-102.
https://doi.org/10.20537/2226-3594-2018-52-07
19. Архангельский А.В. Компактность // Общая топология - 2. Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 50. М.: ВИНИТИ, 1989. C. 5-128.
20. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964.
21. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970.
22. Ченцов А.Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры, I. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2009.
23. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Едиториал УРСС, 2004.
24. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.
25. Ченцов А.Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры, II. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2010.
26. Ченцов А.Г. Преобразования ультрафильтров и их применение в конструкциях множеств притяжения // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 3. C. 85-102.
https://doi.org/10.20537/vm120309
27. Chentsov A.G., Morina S.I. Extensions and relaxations. Dordrecht: Springer Netherlands, 2002.
https://doi.org/10.1007/978-94-017-1527-0
28. Богачев В.И. Слабая сходимость мер. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2016.
29. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969.
30. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.
31. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1975.
32. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.
33. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
34. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.
35. Chentsov A.G. Finitely additive measures and relaxations of extremal problems. New York: Springer US, 1996.
36. Chentsov A.G. Asymptotic attainability. Dordrecht: Springer Netherlands, 1997.
https://doi.org/10.1007/978-94-017-0805-0
37. Ченцов А.Г. Компактификаторы в конструкциях расширений задач о достижимости с ограничениями асимптотического характера // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22. № 1. C. 294-309.
http://mi.mathnet.ru/timm1282
38. Ченцов А.Г. Фильтры и ультрафильтры в конструкциях множеств притяжения // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 1. C. 113-142.
https://doi.org/10.20537/vm110112
39. Ченцов А.Г. Некоторые свойства ультрафильтров, связанные с конструкциями расширений // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2014. Вып. 1. C. 87-101.
https://doi.org/10.20537/vm140108
40. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968.
41. Келли Дж.Л. Общая топология. М.: Наука, 1981.
42. Ченцов А.Г. Ярусные отображения и преобразования на основе ультрафильтров // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18. № 4. C. 298-314.
http://mi.mathnet.ru/timm888
2. Ченцов А.Г. Об одном примере представления пространства ультрафильтров алгебры множеств // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17. № 4. С. 293-311.
http://mi.mathnet.ru/timm771
3. Ченцов А.Г. Ультрафильтры измеримых пространств как обобщенные решения в абстрактных задачах о достижимости // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17. № 1. C. 268-293.
http://mi.mathnet.ru/timm689
4. Ченцов А.Г. Об одном представлении результатов действия приближенных решений в задаче с ограничениями асимптотического характера // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17. № 2. C. 225-239.
http://mi.mathnet.ru/timm709
5. Пыткеев Е.Г., Ченцов А.Г. К вопросу о структуре ультрафильтров и свойствах, связанных со сходимостью в топологических пространствах // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20. № 2. C. 250-267.
http://mi.mathnet.ru/timm1075
6. Ченцов А.Г., Пыткеев Е.Г. Некоторые топологические конструкции расширений абстрактных задач о достижимости // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2014. T. 20. № 4. C. 312-329.
http://mi.mathnet.ru/timm1136
7. Грызлов А.А., Бастрыков Е.С., Головастов Р.А. О точках одного бикомпактного расширения $N$ // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. Вып. 3. C. 10-17.
https://doi.org/10.20537/vm100302
8. Грызлов А.А., Головастов Р.А. О пространствах Стоуна некоторых булевых алгебр // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2013. Вып. 1. C. 11-16.
https://doi.org/10.20537/vm130102
9. Головастов Р.А. О пространстве Стоуна одной булевой алгебры // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 3. C. 19-24.
https://doi.org/10.20537/vm120303
10. Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Физматлит, 2006.
11. de Groot J. Superextensions and supercompactness // Proc. I. Intern. Symp. on extension theory of topological structures and its applications. Berlin: VEB Deutscher Verlag Wis., 1969. P. 89-90.
12. van Mill J. Supercompactness and Wallman spaces. Amsterdam: Mathematisch Centrum, 1977.
13. Strok M., Szymański A. Compact metric spaces have binary bases // Fund. Math. 1975. Vol. 89. No. 1. P. 81-91.
https://doi.org/10.4064/fm-89-1-81-91
14. Ченцов А.Г. Суперрасширение как битопологическое пространство // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2017. Т. 49. C. 55-79.
https://doi.org/10.20537/2226-3594-2017-49-03
15. Ченцов А.Г. Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы множеств // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 3. С. 365-388.
https://doi.org/10.20537/vm170307
16. Chentsov A.G. Some representations connected with ultrafilters and maximal linked systems // Ural Mathematical Journal. 2017. Vol. 3. No. 2. P. 100-121.
https://doi.org/10.15826/umj.2017.2.012
17. Ченцов А.Г. Битопологические пространства ультрафильтров и максимальных сцепленных систем // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24. № 1. C. 257-272.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-1-257-272
18. Ченцов А.Г. Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы: основные свойства и топологические конструкции // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2018. Т. 52. C. 86-102.
https://doi.org/10.20537/2226-3594-2018-52-07
19. Архангельский А.В. Компактность // Общая топология - 2. Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 50. М.: ВИНИТИ, 1989. C. 5-128.
20. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964.
21. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970.
22. Ченцов А.Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры, I. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2009.
23. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Едиториал УРСС, 2004.
24. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.
25. Ченцов А.Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры, II. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2010.
26. Ченцов А.Г. Преобразования ультрафильтров и их применение в конструкциях множеств притяжения // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 3. C. 85-102.
https://doi.org/10.20537/vm120309
27. Chentsov A.G., Morina S.I. Extensions and relaxations. Dordrecht: Springer Netherlands, 2002.
https://doi.org/10.1007/978-94-017-1527-0
28. Богачев В.И. Слабая сходимость мер. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2016.
29. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969.
30. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.
31. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1975.
32. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.
33. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
34. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.
35. Chentsov A.G. Finitely additive measures and relaxations of extremal problems. New York: Springer US, 1996.
36. Chentsov A.G. Asymptotic attainability. Dordrecht: Springer Netherlands, 1997.
https://doi.org/10.1007/978-94-017-0805-0
37. Ченцов А.Г. Компактификаторы в конструкциях расширений задач о достижимости с ограничениями асимптотического характера // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22. № 1. C. 294-309.
http://mi.mathnet.ru/timm1282
38. Ченцов А.Г. Фильтры и ультрафильтры в конструкциях множеств притяжения // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 1. C. 113-142.
https://doi.org/10.20537/vm110112
39. Ченцов А.Г. Некоторые свойства ультрафильтров, связанные с конструкциями расширений // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2014. Вып. 1. C. 87-101.
https://doi.org/10.20537/vm140108
40. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968.
41. Келли Дж.Л. Общая топология. М.: Наука, 1981.
42. Ченцов А.Г. Ярусные отображения и преобразования на основе ультрафильтров // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18. № 4. C. 298-314.
http://mi.mathnet.ru/timm888
Поступила в редакцию
2019-04-20
Опубликована 2019-11-20
Опубликована 2019-11-20