Спектральные особенности решения одной краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма второго порядка с отражением аргумента
Ключевые слова:
интегро-дифференциальное уравнение, краевая задача, отражение аргумента, интегральные условия, спектральные параметры, разрешимость
Аннотация
Рассмотрены спектральные особенности в вопросе разрешимости и построения решений неоднородной краевой задачи для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма второго порядка с двумя спектральными параметрами, вырожденным ядром, интегральными условиями и отражением аргумента. Применен и развит метод вырожденного ядра. Получена система алгебраических уравнений для определения произвольных постоянных интегрирования. Изучены особенности, возникающие при решении систем алгебраических уравнений. Вычислены соответствующие этим особенностям спектральные значения параметров. Установлены критерия однозначной разрешимости поставленной нелинейной задачи для регулярных значений спектральных параметров. При доказательстве однозначной разрешимости этой задачи применены метод последовательных приближений и метод сжимающих отображений. Для регулярных значений спектральных параметров показана непрерывность решения неоднородной краевой задачи по интегральным данным. Выявлено также условие малости этого решения. Для иррегулярных значений спектральных параметров изучены вопросы существования или отсутствия решений рассматриваемой нелокальной краевой задачи. Построены решения, соответствующие значениям спектральных параметров, в случае существования.
Литература
1. Калинин Е.Д. Решение многопараметрической спектральной задачи для слабосвязанных систем гамильтоновых уравнений второго порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55. № 1. С. 46-55.
https://doi.org/10.7868/S0044466915010081
2. Смирнов Ю.Г. Задачи сопряжения на собственные значения, описывающие распространение ТЕ- и ТМ-волн в двухслойных неоднородных анизотропных цилиндрических и плоских волноводах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55. № 3. С. 460-468.
https://doi.org/10.7868/S0044466915030187
3. Назаров С.А. Разрушение циклов и возможность раскрытия спектральных лакун в квадратной решетке тонких акустических волноводов // Изв. РАН. Сер. матем. 2018. Т. 82. Вып. 6. С. 78-127.
https://doi.org/10.4213/im8693
4. Alves M., Labovskiy S. On spectral problem for a functional differential equation with mixed continuous and discrete measure // Functional Differential Equations. 2018. Vol. 25. No. 1-2. P. 3-19.
5. Cetinkaya F.A., Mamedov K.R. A boundary value problem with retarded argument and discontinuous coefficient in the differential equation // Azerbaijan Journal of Mathematics. 2017. Vol. 7. No. 1. С. 135-145.
https://www.azjm.org/volumes/7-1.html
6. Nazarov S.A., Pérez M.E. On multi-scale asymptotic structure of eigenfunctions in a boundary value problem with concentrated masses near the boundary // Revista Matemática Complutense. 2018. Vol. 31. Issue 1. P. 1-62.
https://doi.org/10.1007/s13163-017-0243-4
7. Nazarov S.A., Taskinen J. Essential spectrum of a periodic waveguide with non-periodic perturbation // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2018. Vol. 463. Issue 2. P. 922-933.
https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2018.03.057
8. Ушаков Е.И. Статическая устойчивость электрических цепей. Новосибирск: Наука, 1988.
9. Cavalcanti M.M., Domingos Cavalcanti V.N., Ferreira J. Existence and uniform decay for a non-linear viscoelastic equation with strong damping // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2001. Vol. 24. Issue 14. P. 1043-1053.
https://doi.org/10.1002/mma.250
10. Юлдашев Т.К. Об одной нелокальной краевой задаче для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с вырождением ядра // Дифференц. уравнения. 2018. T. 54. № 12. С. 1687-1694.
https://doi.org/10.1134/S0374064118120105
11. Юлдашев Т.К. О разрешимости одной краевой задачи для обыкновенного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. Т. 59. № 2. С. 252-263.
https://doi.org/10.1134/S0044466919020169
12. Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды // Матем. моделирование. 2000. Т. 12. № 1. С. 94-103.
http://mi.mathnet.ru/mm832
13. Иванчов Н.И. Краевые задачи для параболического уравнения с интегральным условием // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 4. С. 547-564.
http://mi.mathnet.ru/de11062
14. Тихонов И.В. Теоремы единственности в линейных нелокальных задачах для абстрактных дифференциальных уравнений // Изв. РАН. Сер. матем. 2003. Т. 67. Вып. 2. С. 133-166.
15. Даровская К.А., Скубачевский А.Л. Об одной спектральной задаче с интегральными условиями // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 2011. Вып. 28. С. 147-160.
http://mi.mathnet.ru/tsp20
16. Подъяпольский В.В. Суммируемость по Абелю системы корневых функций одной нелокальной задачи с интегральными условиями // Матем. заметки. 1999. Т. 65. Вып. 5. С. 797-800.
https://doi.org/10.4213/mzm1114
17. Шкаликов А.А. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика и механика. 1982. № 6. С. 12-21.
18. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Регуляризованные асимптотические решения начальной задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений в частных производных // Матем. заметки. 2017. Т. 102. Вып. 1. С. 28-38.
https://doi.org/10.4213/mzm11220
19. Быков Я.В. О некоторых задачах теории интегро-дифференциальных уравнений. Фрунзе: Кирг. гос. ун-т, 1957.
20. Вайнберг М.М. Интегро-дифференциальные уравнения / Итоги науки. Сер. Мат. анал. Теор. вероятн. Регулир. 1962. М.: ВИНИТИ, 1964. С. 5-37.
http://mi.mathnet.ru/intv82
21. Зарипов С.К. Построение аналога теоремы Фредгольма для одного класса модельных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной точкой в ядре // Вестн. Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2017. № 46. С. 24-35.
https://doi.org/10.17223/19988621/46/4
22. Искандаров С., Халилова Г.Т. Об оценках снизу решений и их производных линейного интегродифференциального уравнения четвертого порядка типа Вольтерра // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 2017. Т. 132. С. 43-49.
http://mi.mathnet.ru/into162
23. Фалалеев М.В. Интегро-дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором при старшей производной в банаховых пространствах и их приложения // Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика. 2012. Т. 5. Вып. 2. С. 90-102.
http://mi.mathnet.ru/iigum70
24. Сидоров Н.А. Решение задачи Коши для одного класса интегро-дифференциальных уравнений с аналитическими нелинейностями // Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4. № 7. С. 1309-1316.
http://mi.mathnet.ru/de407
25. Юрко В.А. Обратные задачи для интегро-дифференциальных операторов первого порядка // Матем. заметки. 2016. Т. 100. Вып. 6. С. 939-946.
https://doi.org/10.4213/mzm11112
26. Юлдашев Т.К. Обыкновенное интегро-дифференциальное уравнение с вырожденным ядром и интегральным условием // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2016. Т. 20. № 4. С. 644-655.
https://doi.org/10.14498/vsgtu1502
27. Yuldashev T.K. On inverse boundary value problem for a Fredholm integro-differential equation with degenerate kernel and spectral parameter // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2019. Vol. 40. No. 2. P. 230-239.
https://doi.org/10.1134/S199508021902015X
28. Треногин В.А. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1980.
https://doi.org/10.7868/S0044466915010081
2. Смирнов Ю.Г. Задачи сопряжения на собственные значения, описывающие распространение ТЕ- и ТМ-волн в двухслойных неоднородных анизотропных цилиндрических и плоских волноводах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55. № 3. С. 460-468.
https://doi.org/10.7868/S0044466915030187
3. Назаров С.А. Разрушение циклов и возможность раскрытия спектральных лакун в квадратной решетке тонких акустических волноводов // Изв. РАН. Сер. матем. 2018. Т. 82. Вып. 6. С. 78-127.
https://doi.org/10.4213/im8693
4. Alves M., Labovskiy S. On spectral problem for a functional differential equation with mixed continuous and discrete measure // Functional Differential Equations. 2018. Vol. 25. No. 1-2. P. 3-19.
5. Cetinkaya F.A., Mamedov K.R. A boundary value problem with retarded argument and discontinuous coefficient in the differential equation // Azerbaijan Journal of Mathematics. 2017. Vol. 7. No. 1. С. 135-145.
https://www.azjm.org/volumes/7-1.html
6. Nazarov S.A., Pérez M.E. On multi-scale asymptotic structure of eigenfunctions in a boundary value problem with concentrated masses near the boundary // Revista Matemática Complutense. 2018. Vol. 31. Issue 1. P. 1-62.
https://doi.org/10.1007/s13163-017-0243-4
7. Nazarov S.A., Taskinen J. Essential spectrum of a periodic waveguide with non-periodic perturbation // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2018. Vol. 463. Issue 2. P. 922-933.
https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2018.03.057
8. Ушаков Е.И. Статическая устойчивость электрических цепей. Новосибирск: Наука, 1988.
9. Cavalcanti M.M., Domingos Cavalcanti V.N., Ferreira J. Existence and uniform decay for a non-linear viscoelastic equation with strong damping // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2001. Vol. 24. Issue 14. P. 1043-1053.
https://doi.org/10.1002/mma.250
10. Юлдашев Т.К. Об одной нелокальной краевой задаче для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с вырождением ядра // Дифференц. уравнения. 2018. T. 54. № 12. С. 1687-1694.
https://doi.org/10.1134/S0374064118120105
11. Юлдашев Т.К. О разрешимости одной краевой задачи для обыкновенного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. Т. 59. № 2. С. 252-263.
https://doi.org/10.1134/S0044466919020169
12. Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды // Матем. моделирование. 2000. Т. 12. № 1. С. 94-103.
http://mi.mathnet.ru/mm832
13. Иванчов Н.И. Краевые задачи для параболического уравнения с интегральным условием // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 4. С. 547-564.
http://mi.mathnet.ru/de11062
14. Тихонов И.В. Теоремы единственности в линейных нелокальных задачах для абстрактных дифференциальных уравнений // Изв. РАН. Сер. матем. 2003. Т. 67. Вып. 2. С. 133-166.
15. Даровская К.А., Скубачевский А.Л. Об одной спектральной задаче с интегральными условиями // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 2011. Вып. 28. С. 147-160.
http://mi.mathnet.ru/tsp20
16. Подъяпольский В.В. Суммируемость по Абелю системы корневых функций одной нелокальной задачи с интегральными условиями // Матем. заметки. 1999. Т. 65. Вып. 5. С. 797-800.
https://doi.org/10.4213/mzm1114
17. Шкаликов А.А. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика и механика. 1982. № 6. С. 12-21.
18. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Регуляризованные асимптотические решения начальной задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений в частных производных // Матем. заметки. 2017. Т. 102. Вып. 1. С. 28-38.
https://doi.org/10.4213/mzm11220
19. Быков Я.В. О некоторых задачах теории интегро-дифференциальных уравнений. Фрунзе: Кирг. гос. ун-т, 1957.
20. Вайнберг М.М. Интегро-дифференциальные уравнения / Итоги науки. Сер. Мат. анал. Теор. вероятн. Регулир. 1962. М.: ВИНИТИ, 1964. С. 5-37.
http://mi.mathnet.ru/intv82
21. Зарипов С.К. Построение аналога теоремы Фредгольма для одного класса модельных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной точкой в ядре // Вестн. Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2017. № 46. С. 24-35.
https://doi.org/10.17223/19988621/46/4
22. Искандаров С., Халилова Г.Т. Об оценках снизу решений и их производных линейного интегродифференциального уравнения четвертого порядка типа Вольтерра // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 2017. Т. 132. С. 43-49.
http://mi.mathnet.ru/into162
23. Фалалеев М.В. Интегро-дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором при старшей производной в банаховых пространствах и их приложения // Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика. 2012. Т. 5. Вып. 2. С. 90-102.
http://mi.mathnet.ru/iigum70
24. Сидоров Н.А. Решение задачи Коши для одного класса интегро-дифференциальных уравнений с аналитическими нелинейностями // Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4. № 7. С. 1309-1316.
http://mi.mathnet.ru/de407
25. Юрко В.А. Обратные задачи для интегро-дифференциальных операторов первого порядка // Матем. заметки. 2016. Т. 100. Вып. 6. С. 939-946.
https://doi.org/10.4213/mzm11112
26. Юлдашев Т.К. Обыкновенное интегро-дифференциальное уравнение с вырожденным ядром и интегральным условием // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2016. Т. 20. № 4. С. 644-655.
https://doi.org/10.14498/vsgtu1502
27. Yuldashev T.K. On inverse boundary value problem for a Fredholm integro-differential equation with degenerate kernel and spectral parameter // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2019. Vol. 40. No. 2. P. 230-239.
https://doi.org/10.1134/S199508021902015X
28. Треногин В.А. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1980.
Поступила в редакцию
2019-07-26
Опубликована 2019-11-20
Опубликована 2019-11-20