Обобщенная разрешимость смешанной задачи для нелинейного интегро-дифференциального уравнения высокого порядка с вырожденным ядром

Турсун Камалдинович Юлдашев

doi:10.20537/2226-3594-2017-50-10

Турсун Камалдинович Юлдашев
- Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М.Ф. Решетнева

DOI: https://doi.org/10.20537/2226-3594-2017-50-10

Ключевые слова: cмешанная задача, нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, вырожденное ядро, дифференциальный оператор высокой степени, обобщенное решение

Аннотация

Рассматриваются вопросы обобщенной разрешимости смешанной задачи для нелинейного интегро-дифференциального уравнения с псевдопараболическим оператором произвольной натуральной степени и с вырожденным ядром. Используется подход В.А. Ильина для определения слабого обобщенного решения поставленной задачи с начальными и граничными условиями. Применяется метод ряда Фурье, основанный на разделение переменных. Получается счетная система алгебраических уравнений с использованием вырожденности ядра и интегрированием при начальных условиях. Для решения счетной системы алгебраических уравнений и вывода искомой функции из знака определителя модифицируется известный метод Крамера. Это позволяет получить счетную систему нелинейных интегральных уравнений при регулярных значениях спектрального параметра. Доказывается лемма об однозначной разрешимости в банаховом пространстве этой счетной системы нелинейных интегральных уравнений методом сжимающих отображений. Доказывается теорема о сходимости ряда Фурье, полученного как формальное решение поставленной смешанной задачи. При доказательстве леммы и теоремы многократно применяются неравенства Гельдера, Минковского и Бесселя.

Литература

1. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 336 с.
2. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006. 248 с.
3. Замышляева А.А. Математические модели соболевского типа высокого порядка // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. Математическое моделирование и программирование. 2014. Т. 7. № 2. С. 5-28. DOI: 10.14529/mmp140201
4. Похожаев С.И. О разрешимости квазилинейных эллиптических уравнений произвольного порядка // Математический сборник. 1982. Т. 117 (159). № 2. С. 251-265.
5. Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. Киев: Наукова думка, 1973. 219 c.
6. Тодоров Т.Г. О непрерывности ограниченных обобщенных решений квазилинейных эллиптических уравнений высокого порядка // Вестник Ленинградского государственного университета. 1975. Т. 19. С. 56-63.
7. Юлдашев Т.К. Смешанная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения с параболическим оператором высокой степени // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52. № 1. С. 112-123.
8. Юлдашев Т.К. Обратная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения с гиперболическим оператором высокой степени // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Физика. 2013. Т. 5. Вып. 1. С. 69-75.
9. Джумабаев Д.С., Бакирова Э.А. Об однозначной разрешимости краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром // Нелинейные колебания. 2015. Т. 18. № 4. С. 489-506.
10. Юлдашев Т.К. Обратная задача для обыкновенного интегро-дифференциального уравнения с вырожденным ядром и нелокальными интегральными условиями // Вестник Тверского государственного университета. Сер. Прикладная математика. 2016. № 3. С. 19-33.
11. Юлдашев Т.К. Обыкновенное интегро-дифференциальное уравнение с вырожденным ядром и интегральным условием // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физико-математические науки. 2016. Т. 20. № 4. С. 644-655. DOI: 10.14498/vsgtu1502
12. Yuldashev T.K. Determination of the coefficient and boundary regime in boundary value problem for integro-differential equation with degenerate kernel // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2017. Vol. 38. Issue 3. P. 547-553. DOI: 10.1134/S199508021703026X
13. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // Успехи математических наук. 1960. Т. 15. Вып. 2 (92). С. 97-154.
14. Лажетич Н. О существовании классического решения смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. № 5. С. 682-694.
15. Мартемьянова Н.В. Задача Дирихле для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с переменным потенциалом // Известия вузов. Математика. 2015. № 11. С. 44-53.
16. Моисеев Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. № 8. С. 1094-1100.
17. Сабитов К.Б. Нелокальная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области // Математические заметки. 2011. Т. 89. Вып. 4. С. 596-602. DOI: 10.4213/mzm8462
18. Чернятин В.А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных. М.: Изд-во МГУ, 1991. 112 с.
19. Эгамбердиев У., Апаков Ю.П. О задаче Дирихле для смешанного эллиптико-гиперболического уравнения в трехмерной области // Известия АН Узб ССР. Сер. Физико-математические науки. 1989. № 3. С. 51-56.
20. Юлдашев Т.К. Об одном смешанном дифференциальном уравнении четвертого порядка // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2016. Вып. 1 (47). С. 119-128.
21. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничного управления колебаниями струны упругой силой // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. № 12. С. 1699-1711.
22. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 495 с.