Достаточные условия нелокальной разрешимости системы двух квазилинейных уравнений первого порядка со свободными членами
Ключевые слова:
система квазилинейных уравнений, метод дополнительного аргумента, задача Коши, глобальные оценки
Аннотация
Рассмотрена задача Коши для системы двух квазилинейных уравнений первого порядка со свободными членами. Исследование разрешимости задачи Коши для системы двух квазилинейных уравнений первого порядка со свободными членами в исходных координатах основано на методе дополнительного аргумента. Сформулированы и доказаны теоремы о локальном и нелокальном существовании и единственности решений задачи Коши. Доказаны существование и единственность локального решения задачи Коши для системы двух квазилинейных уравнений первого порядка со свободными членами, которое имеет такую же гладкость по $x$, как и начальные функции задачи Коши. Определены достаточные условия существования и единственности нелокального решения задачи Коши для системы двух квазилинейных уравнений первого порядка со свободными членами, продолженного конечным числом шагов из локального решения. Доказательство нелокальной разрешимости задачи Коши для системы двух квазилинейных уравнений первого порядка со свободными членами опирается на глобальные оценки.
Литература
1. Репин О.А. Краевая задача с операторами М. Сайго для уравнения смешанного типа с дробной производной // Известия высших учебных заведений. Математика. 2018. № 1. С. 81-86.
http://mi.mathnet.ru/ivm9322
2. Глушко А.В., Логинова Е.А., Петрова В.Е., Рябенко А.С. Изучение стационарного распределения тепла в плоскости с трещиной при переменном коэффициенте внутренней теплопроводности // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2015. Т. 55. № 4. С. 695-703.
http://doi.org/10.7868/S0044466915040055
3. Glushko A.V., Ryabenko A.S., Petrova V.E., Loginova E.A. Heat distribution in a plane with a crack with a variable coefficient of thermal conductivity // Asymptotic Analysis. 2016. Vol. 98. No. 4. P. 285-307.
https://doi.org/10.3233/ASY-161369
4. Рождественский Б.Л., Яненко Н.И. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1968.
5. Lannes D. The water waves problem: mathematical analysis and asymptotics. Providence: AMS, 2013.
https://doi.org/10.1090/surv/188
6. Bressan A. Hyperbolic systems of conservation laws: the one-dimensional Cauchy problem. Oxford: Oxford University Press, 2000.
7. Горицкий А.Ю., Кружков С.Н., Чечкин Г.А. Уравнения с частными производными первого порядка. М.: Издательство Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 1999.
8. Chen G.Q., Wang D.H. The Cauchy problem for the Euler equations for compressible fluids // Handbook of Mathematical Fluid Dynamics. 2002. Vol. 1. P. 421-543.
https://doi.org/10.1016/S1874-5792(02)80012-X
9. Иманалиев М.И., Ведь Ю.А. О дифференциальном уравнении в частных производных первого порядка с интегральным коэффициентом // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. № 3. С. 465-477.
http://mi.mathnet.ru/de6793
10. Иманалиев М.И., Алексеенко С.Н. К вопросу существования гладкого ограниченного решения для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка // Докл. РАН. 2001. Т. 379. № 1. С. 16-21.
http://mi.mathnet.ru/dan2413
11. Иманалиев М.И., Панков П.С., Алексеенко С.Н. Метод дополнительного аргумента // Вестник КазНУ. Cер. Математика, механика, информатика. Спец. выпуск. 2006. № 1. С. 60-64.
12. Юлдашев Т.К. Об обратной задаче для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 2 (18). С. 56-62.
http://mi.mathnet.ru/vtgu253
13. Юлдашев Т.К. Начальная задача для квазилинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных высшего порядка с вырожденным ядром // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2018. Т. 52. С. 116-130.
https://doi.org/10.20537/2226-3594-2018-52-09
14. Алексеенко С.Н., Донцова М.В. Исследование разрешимости системы уравнений, описывающей распределение электронов в электрическом поле спрайта // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2012. Вып. 14. С. 34-41.
15. Алексеенко С.Н., Шемякина Т.А., Донцова М.В. Условия нелокальной разрешимости систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2013. № 3 (177). С. 190-201.
16. Алексеенко С.Н., Донцова М.В. Условия разрешимости системы уравнений, описывающих длинные волны в водном прямоугольном канале, глубина которого меняется вдоль оси // Журнал Средневолжского математического общества. 2016. Т. 18. № 2. С. 115-124.
http://mi.mathnet.ru/svmo600
17. Донцова М.В. Условия нелокальной разрешимости задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с непрерывными и ограниченными правыми частями // Вестник ВГУ. Сер. Физика. Математика. 2014. № 4. С. 116-130.
18. Донцова М.В. Нелокальное существование ограниченного решения системы двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с непрерывными и ограниченными правыми частями // Вестник ТвГУ. Сер. Прикладная математика. 2014. № 3. С. 21-36.
19. Алексеенко С.Н., Донцова М.В. Локальное существование ограниченного решения системы уравнений, описывающей распределение электронов в слабоионизированной плазме в электрическом поле спрайта // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2013. Вып. 15. С. 52-59.
20. Донцова М.В. Условия нелокальной разрешимости задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с правыми частями специального вида // Уфимский математический журнал. 2014. Т. 6. № 4. С. 71-82.
http://mi.mathnet.ru/ufa261
21. Донцова М.В. Разрешимость задачи Коши для системы квазилинейных уравнений первого порядка с правыми частями $f_1={a_2}u(t,x) + {b_2}(t)v(t,x)$, $f_2={g_2}v(t,x)$ // Уфимский математический журнал. 2019. Т. 11. № 1. С. 26-38.
http://mi.mathnet.ru/ufa458
22. Alekseenko S.N., Dontsova M.V., Pelinovsky D.E. Global solutions to the shallow water system with a method of an additional argument // Applicable Analysis. 2017. Vol. 96. No. 9. P. 1444-1465.
https://doi.org/10.1080/00036811.2016.1208817
23. Донцова М.В. Условия нелокальной разрешимости одной системы двух квазилинейных уравнений первого порядка со свободными членами // Журнал Средневолжского математического общества. 2019. Т. 21. № 3. С. 317-328.
https://doi.org/10.15507/2079-6900.21.201903.317-328
http://mi.mathnet.ru/ivm9322
2. Глушко А.В., Логинова Е.А., Петрова В.Е., Рябенко А.С. Изучение стационарного распределения тепла в плоскости с трещиной при переменном коэффициенте внутренней теплопроводности // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2015. Т. 55. № 4. С. 695-703.
http://doi.org/10.7868/S0044466915040055
3. Glushko A.V., Ryabenko A.S., Petrova V.E., Loginova E.A. Heat distribution in a plane with a crack with a variable coefficient of thermal conductivity // Asymptotic Analysis. 2016. Vol. 98. No. 4. P. 285-307.
https://doi.org/10.3233/ASY-161369
4. Рождественский Б.Л., Яненко Н.И. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1968.
5. Lannes D. The water waves problem: mathematical analysis and asymptotics. Providence: AMS, 2013.
https://doi.org/10.1090/surv/188
6. Bressan A. Hyperbolic systems of conservation laws: the one-dimensional Cauchy problem. Oxford: Oxford University Press, 2000.
7. Горицкий А.Ю., Кружков С.Н., Чечкин Г.А. Уравнения с частными производными первого порядка. М.: Издательство Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 1999.
8. Chen G.Q., Wang D.H. The Cauchy problem for the Euler equations for compressible fluids // Handbook of Mathematical Fluid Dynamics. 2002. Vol. 1. P. 421-543.
https://doi.org/10.1016/S1874-5792(02)80012-X
9. Иманалиев М.И., Ведь Ю.А. О дифференциальном уравнении в частных производных первого порядка с интегральным коэффициентом // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. № 3. С. 465-477.
http://mi.mathnet.ru/de6793
10. Иманалиев М.И., Алексеенко С.Н. К вопросу существования гладкого ограниченного решения для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка // Докл. РАН. 2001. Т. 379. № 1. С. 16-21.
http://mi.mathnet.ru/dan2413
11. Иманалиев М.И., Панков П.С., Алексеенко С.Н. Метод дополнительного аргумента // Вестник КазНУ. Cер. Математика, механика, информатика. Спец. выпуск. 2006. № 1. С. 60-64.
12. Юлдашев Т.К. Об обратной задаче для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 2 (18). С. 56-62.
http://mi.mathnet.ru/vtgu253
13. Юлдашев Т.К. Начальная задача для квазилинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных высшего порядка с вырожденным ядром // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2018. Т. 52. С. 116-130.
https://doi.org/10.20537/2226-3594-2018-52-09
14. Алексеенко С.Н., Донцова М.В. Исследование разрешимости системы уравнений, описывающей распределение электронов в электрическом поле спрайта // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2012. Вып. 14. С. 34-41.
15. Алексеенко С.Н., Шемякина Т.А., Донцова М.В. Условия нелокальной разрешимости систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2013. № 3 (177). С. 190-201.
16. Алексеенко С.Н., Донцова М.В. Условия разрешимости системы уравнений, описывающих длинные волны в водном прямоугольном канале, глубина которого меняется вдоль оси // Журнал Средневолжского математического общества. 2016. Т. 18. № 2. С. 115-124.
http://mi.mathnet.ru/svmo600
17. Донцова М.В. Условия нелокальной разрешимости задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с непрерывными и ограниченными правыми частями // Вестник ВГУ. Сер. Физика. Математика. 2014. № 4. С. 116-130.
18. Донцова М.В. Нелокальное существование ограниченного решения системы двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с непрерывными и ограниченными правыми частями // Вестник ТвГУ. Сер. Прикладная математика. 2014. № 3. С. 21-36.
19. Алексеенко С.Н., Донцова М.В. Локальное существование ограниченного решения системы уравнений, описывающей распределение электронов в слабоионизированной плазме в электрическом поле спрайта // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2013. Вып. 15. С. 52-59.
20. Донцова М.В. Условия нелокальной разрешимости задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с правыми частями специального вида // Уфимский математический журнал. 2014. Т. 6. № 4. С. 71-82.
http://mi.mathnet.ru/ufa261
21. Донцова М.В. Разрешимость задачи Коши для системы квазилинейных уравнений первого порядка с правыми частями $f_1={a_2}u(t,x) + {b_2}(t)v(t,x)$, $f_2={g_2}v(t,x)$ // Уфимский математический журнал. 2019. Т. 11. № 1. С. 26-38.
http://mi.mathnet.ru/ufa458
22. Alekseenko S.N., Dontsova M.V., Pelinovsky D.E. Global solutions to the shallow water system with a method of an additional argument // Applicable Analysis. 2017. Vol. 96. No. 9. P. 1444-1465.
https://doi.org/10.1080/00036811.2016.1208817
23. Донцова М.В. Условия нелокальной разрешимости одной системы двух квазилинейных уравнений первого порядка со свободными членами // Журнал Средневолжского математического общества. 2019. Т. 21. № 3. С. 317-328.
https://doi.org/10.15507/2079-6900.21.201903.317-328
Поступила в редакцию
2019-11-04
Опубликована 2020-05-20
Опубликована 2020-05-20