О некоторых аналогах сцепленности и суперкомпактности

Аннотация

Рассматриваются естественные обобщения свойств сцепленности семейств и суперкомпактности топологических пространств. Исследуется усиленная сцепленность, когда постулируется непустота пересечения наперед заданного числа множеств семейства. Подобным же образом модифицируется суперкомпактность: постулируется существование открытой предбазы, для которой из любого покрытия (множествами данной предбазы) можно извлечь подпокрытие с заданным числом множеств (точнее, не большим, чем заданное число). Разумеется, среди семейств, обладающих усиленной сцепленностью, выделяются максимальные в упорядоченности по включению. При естественных и, по сути, «минимальных» условиях на первоначальную измеримую структуру среди упомянутых максимальных семейств непременно содержатся ультрафильтры. Последние образуют подпространства в смысле естественных топологий, отвечающих идейно схемам Волмэна и Стоуна. Максимальные семейства с усиленной сцепленностью в топологии волмэновского типа обладают вышеупомянутым свойством, обобщающем суперкомпактность. Тем самым реализуется некоторый аналог суперрасширения $T_1$-пространства. Устанавливается сравнимость «волмэновской» и «стоуновской» топологий; в итоге реализуется битопологическое пространство (БТП), подпространством которого (понимаемым в естественном смысле) оказывается множество ультрафильтров в оснащении топологиями аналогичных типов. Указывается случай, когда вышеупомянутое БТП не вырождено в том смысле, что образующие его топологии различны. В то же время в случае обычной сцепленности (а это - частный случай сцепленности усиленной) известны весьма общие классы широко понимаемых измеримых структур, для которых упомянутые БТП вырождены (ситуации, когда исходное множество, т.е. «единица», оснащено алгеброй множеств или топологией).