Назначение спектра в линейных системах с несколькими соизмеримыми сосредоточенными и распределенными запаздываниями в состоянии посредством статической обратной связи по выходу
Ключевые слова:
линейное дифференциальное уравнение, сосредоточенное запаздывание, распределенное запаздывание, соизмеримые запаздывания, управление спектром, стабилизация, статическая обратная связь по выходу
Аннотация
Рассматривается линейная система управления, заданная стационарным дифференциальным уравнением $n$-го порядка с несколькими соизмеримыми сосредоточенными и распределенными запаздываниями в состоянии. В системе на вход подается линейная комбинация из $m$ сигналов и их производных до порядка $n-p$ включительно, а выход представляет собой $k$-мерный вектор линейных комбинаций состояния и его производных до порядка не более $p-1$. Для этой системы исследуется задача управления спектром с помощью линейной статической обратной связи по выходу с соизмеримыми сосредоточенными и распределенными запаздываниями. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи произвольного размещения спектра посредством статической обратной связи по выходу. Получены следствия о стабилизации системы.
Литература
1. Pekař L., Gao Q. Spectrum analysis of LTI continuous-time systems with constant delays: a literature overview of some recent results // IEEE Access. 2018. Vol. 6. P. 35457-35491.
https://doi.org/10.1109/access.2018.2851453
2. Yi S., Nelson P.W., Ulsoy A.G. Eigenvalue assignment via the Lambert W function for control of time-delay systems // Journal of Vibration and Control. 2010. Vol. 16. Issue 7-8. P. 961-982.
http://doi.org/10.1177/1077546309341102
3. Yi S., Nelson P.W., Ulsoy A.G. Robust control and time-domain specifications for systems of delay differential equations via eigenvalue assignment // Journal of Dynamic Systems Measurement and Control. 2010. Vol. 132. Issue 3. 031003.
https://doi.org/10.1115/1.4001339
4. Wang H., Liu J., Yang F., Zhang Y. Controller design for delay systems via eigenvalue assignment - on a new result in the distribution of quasi-polynomial roots // International Journal of Control. 2015. Vol. 88. Issue 12. P. 2457-2476.
https://doi.org/10.1080/00207179.2015.1048290
5. Wang H., Liu J., Zhang Y. New results on eigenvalue distribution and controller design for time delay systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2017. Vol. 62. Issue 6. P. 2886-2901.
https://doi.org/10.1109/TAC.2016.2637002
6. Zítek P., Fiser J., Vyhídal T. Dimensional analysis approach to dominant three-pole placement in delayed PID control loops // Journal of Process Control. 2013. Vol. 23. Issue 8. P. 1063-1074.
https://doi.org/10.1016/j.jprocont.2013.06.001
7. Cacace F., Germani A., Manes C. Exponential stabilization of linear systems with time-varying delayed state feedback via partial spectrum assignment // Systems and Control Letters. 2014. Vol. 69. P. 47-52.
http://doi.org/10.1016/j.sysconle.2014.04.007
8. Metel'skii A.V. Modal controllability of a delay differential system by an incomplete output // Differential Equations. 2018. Vol. 54. No. 11. P. 1483-1493.
https://doi.org/10.1134/S0012266118110095
9. Semenič N., Sarjaš A., Chowdhury A., Svečko R. Quasipolynomial approach to simultaneous robust control of time-delay systems // Mathematical Problems in Engineering. 2014. Vol. 2014. Article 930697.
https://doi.org/10.1155/2014/930697
10. Kandala S.S., Uchida T.K., C.P. Vyasarayani C.P. Pole placement for time-delayed systems using Galerkin approximations // Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control. 2019. Vol. 141. Issue 5. 051012.
https://doi.org/10.1115/1.4042465
11. Fiagbedzi Y.A., Pearson A.E. A multistage reduction technique for feedback stabilizing distributed time-lag systems // Automatica. 1987. Vol. 23. Issue 3. P. 311-326.
https://doi.org/10.1016/0005-1098(87)90005-7
12. Dolgii Yu.F. Stabilization of linear autonomous systems of differential equations with distributed delay // Automation and Remote Control. 2007. Vol. 68. Issue 10. P. 1813-1825.
https://doi.org/10.1134/S0005117907100098
13. Zítek P., Vyhlídal T. State feedback control of time delay system: conformal mapping aided design // IFAC Proceedings Volumes. 2000. Vol. 33. Issue 23. P. 157-162.
https://doi.org/10.1016/S1474-6670(17)36935-5
14. Michiels W., Vyhlídal T., Zítek P. Control design for time-delay systems based on quasi-direct pole placement // Journal of Process Control. 2010. Vol. 20. Issue 3. P. 337-343.
http://doi.org/10.1016/j.jprocont.2009.11.004
15. Wei F., Bachrathy D., Orosz G., Ulsoy A.G. Spectrum design using distributed delay // International Journal of Dynamics and Control. 2014. Vol. 2. Issue 2. P. 234-246.
https://doi.org/10.1007/s40435-014-0068-7
16. Wei F., Orosz G., Ulsoy A.G. Design of rightmost eigenvalues using distributed delay // Proceedings of ASME 2014 Dynamic Systems and Control Conference. 2014.
https://doi.org/10.1115/DSCC2014-6149
17. Pekař L. On the optimal pole assignment for time-delay systems // International Journal of Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 2013. Vol. 7. Issue 1. P. 63-71.
18. Borkovskaya I.M., Marchenko V.M. Modal control of systems with distributed delays // Automation and Remote Control. 1993. Vol. 54. No. 8. P. 1211-1222.
https://zbmath.org/?q=an:0841.93024
19. Marchenko V.M., Borkovskaya I.M. Modal control of a system with distributed delay under the condition of incomplete information // Differential Equations. 1993. Vol. 29. No. 11. P. 1673-1680.
https://zbmath.org/?q=an:0815.93065
20. Zaitsev V.A. Modal control of a linear differential equation with incomplete feedback // Differential Equations. 2003. Vol. 39. No. 1. P. 145-148.
https://doi.org/10.1023/A:1025188512610
21. Zaitsev V., Kim I. Exponential stabilization of linear time-varying differential equations with uncertain coefficients by linear stationary feedback // Mathematics. 2020. Vol. 8. Issue 5. Article 853.
https://doi.org/10.3390/math8050853
22. Zaitsev V.A., Kim I.G. Arbitrary spectrum assignment by static output feedback for linear differential equations with state variable delays // IFAC-PapersOnLine. 2018. Vol. 51. Issue 32. P. 810-814.
https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2018.11.446
23. Zaitsev V.A., Kim I.G. Spectrum assignment and stabilization of linear differential equations with delay by static output feedback with delay // Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki. 2020. Vol. 30. Issue 2. P. 208-220.
https://doi.org/10.35634/vm200205
24. Zaitsev V.A. Spectrum control in linear systems with incomplete feedback // Differential Equations. 2009. Vol. 45. Issue 9. P. 1348-1357.
https://doi.org/10.1134/S0012266109090109
25. Zaitsev V.A. Necessary and sufficient conditions in a spectrum control problem // Differential Equations. 2010. Vol. 46. Issue 12. P. 1789-1793.
https://doi.org/10.1134/S0012266110120128
26. Зайцев В.А., Ким И.Г. Задача назначения конечного спектра в линейных системах с запаздыванием по состоянию при помощи статической обратной связи по выходу // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2016. Т. 26. Вып. 4. С. 463-473.
https://doi.org/10.20537/vm160402
27. Ким И.Г. Назначение конечного спектра в линейных системах с несколькими сосредоточенными и распределенными запаздываниями посредством статической обратной связи по выходу // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2020. Т. 30. Вып. 3. С. 367-384.
https://doi.org/10.35634/vm200302
28. Зайцев В.А., Ким И.Г. О назначении произвольного спектра в линейных стационарных системах с соизмеримыми запаздываниями по состоянию при помощи статической обратной связи по выходу // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 3. С. 315-325.
https://doi.org/10.20537/vm170303
29. Kim I.G., Zaitsev V.A. Spectrum assignment by static output feedback for linear systems with time delays in states // 2018 14th International Conference «Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems» (Pyatnitskiy's Conference) (STAB). 2018.
https://doi.org/10.1109/STAB.2018.8408365
30. Zaitsev V.A., Kim I.G. On finite spectrum assignment problem in bilinear systems with state delay // Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki. 2019. Vol. 29. Issue 1. P. 19-28.
https://doi.org/10.20537/vm190102
31. Zaitsev V.A., Kim I.G., Khartovskii V.E. Finite spectrum assignment problem for bilinear systems with several delays // Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki. 2019. Vol. 29. Issue 3. P. 319-331.
https://doi.org/10.20537/vm190303
https://doi.org/10.1109/access.2018.2851453
2. Yi S., Nelson P.W., Ulsoy A.G. Eigenvalue assignment via the Lambert W function for control of time-delay systems // Journal of Vibration and Control. 2010. Vol. 16. Issue 7-8. P. 961-982.
http://doi.org/10.1177/1077546309341102
3. Yi S., Nelson P.W., Ulsoy A.G. Robust control and time-domain specifications for systems of delay differential equations via eigenvalue assignment // Journal of Dynamic Systems Measurement and Control. 2010. Vol. 132. Issue 3. 031003.
https://doi.org/10.1115/1.4001339
4. Wang H., Liu J., Yang F., Zhang Y. Controller design for delay systems via eigenvalue assignment - on a new result in the distribution of quasi-polynomial roots // International Journal of Control. 2015. Vol. 88. Issue 12. P. 2457-2476.
https://doi.org/10.1080/00207179.2015.1048290
5. Wang H., Liu J., Zhang Y. New results on eigenvalue distribution and controller design for time delay systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2017. Vol. 62. Issue 6. P. 2886-2901.
https://doi.org/10.1109/TAC.2016.2637002
6. Zítek P., Fiser J., Vyhídal T. Dimensional analysis approach to dominant three-pole placement in delayed PID control loops // Journal of Process Control. 2013. Vol. 23. Issue 8. P. 1063-1074.
https://doi.org/10.1016/j.jprocont.2013.06.001
7. Cacace F., Germani A., Manes C. Exponential stabilization of linear systems with time-varying delayed state feedback via partial spectrum assignment // Systems and Control Letters. 2014. Vol. 69. P. 47-52.
http://doi.org/10.1016/j.sysconle.2014.04.007
8. Metel'skii A.V. Modal controllability of a delay differential system by an incomplete output // Differential Equations. 2018. Vol. 54. No. 11. P. 1483-1493.
https://doi.org/10.1134/S0012266118110095
9. Semenič N., Sarjaš A., Chowdhury A., Svečko R. Quasipolynomial approach to simultaneous robust control of time-delay systems // Mathematical Problems in Engineering. 2014. Vol. 2014. Article 930697.
https://doi.org/10.1155/2014/930697
10. Kandala S.S., Uchida T.K., C.P. Vyasarayani C.P. Pole placement for time-delayed systems using Galerkin approximations // Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control. 2019. Vol. 141. Issue 5. 051012.
https://doi.org/10.1115/1.4042465
11. Fiagbedzi Y.A., Pearson A.E. A multistage reduction technique for feedback stabilizing distributed time-lag systems // Automatica. 1987. Vol. 23. Issue 3. P. 311-326.
https://doi.org/10.1016/0005-1098(87)90005-7
12. Dolgii Yu.F. Stabilization of linear autonomous systems of differential equations with distributed delay // Automation and Remote Control. 2007. Vol. 68. Issue 10. P. 1813-1825.
https://doi.org/10.1134/S0005117907100098
13. Zítek P., Vyhlídal T. State feedback control of time delay system: conformal mapping aided design // IFAC Proceedings Volumes. 2000. Vol. 33. Issue 23. P. 157-162.
https://doi.org/10.1016/S1474-6670(17)36935-5
14. Michiels W., Vyhlídal T., Zítek P. Control design for time-delay systems based on quasi-direct pole placement // Journal of Process Control. 2010. Vol. 20. Issue 3. P. 337-343.
http://doi.org/10.1016/j.jprocont.2009.11.004
15. Wei F., Bachrathy D., Orosz G., Ulsoy A.G. Spectrum design using distributed delay // International Journal of Dynamics and Control. 2014. Vol. 2. Issue 2. P. 234-246.
https://doi.org/10.1007/s40435-014-0068-7
16. Wei F., Orosz G., Ulsoy A.G. Design of rightmost eigenvalues using distributed delay // Proceedings of ASME 2014 Dynamic Systems and Control Conference. 2014.
https://doi.org/10.1115/DSCC2014-6149
17. Pekař L. On the optimal pole assignment for time-delay systems // International Journal of Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 2013. Vol. 7. Issue 1. P. 63-71.
18. Borkovskaya I.M., Marchenko V.M. Modal control of systems with distributed delays // Automation and Remote Control. 1993. Vol. 54. No. 8. P. 1211-1222.
https://zbmath.org/?q=an:0841.93024
19. Marchenko V.M., Borkovskaya I.M. Modal control of a system with distributed delay under the condition of incomplete information // Differential Equations. 1993. Vol. 29. No. 11. P. 1673-1680.
https://zbmath.org/?q=an:0815.93065
20. Zaitsev V.A. Modal control of a linear differential equation with incomplete feedback // Differential Equations. 2003. Vol. 39. No. 1. P. 145-148.
https://doi.org/10.1023/A:1025188512610
21. Zaitsev V., Kim I. Exponential stabilization of linear time-varying differential equations with uncertain coefficients by linear stationary feedback // Mathematics. 2020. Vol. 8. Issue 5. Article 853.
https://doi.org/10.3390/math8050853
22. Zaitsev V.A., Kim I.G. Arbitrary spectrum assignment by static output feedback for linear differential equations with state variable delays // IFAC-PapersOnLine. 2018. Vol. 51. Issue 32. P. 810-814.
https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2018.11.446
23. Zaitsev V.A., Kim I.G. Spectrum assignment and stabilization of linear differential equations with delay by static output feedback with delay // Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki. 2020. Vol. 30. Issue 2. P. 208-220.
https://doi.org/10.35634/vm200205
24. Zaitsev V.A. Spectrum control in linear systems with incomplete feedback // Differential Equations. 2009. Vol. 45. Issue 9. P. 1348-1357.
https://doi.org/10.1134/S0012266109090109
25. Zaitsev V.A. Necessary and sufficient conditions in a spectrum control problem // Differential Equations. 2010. Vol. 46. Issue 12. P. 1789-1793.
https://doi.org/10.1134/S0012266110120128
26. Зайцев В.А., Ким И.Г. Задача назначения конечного спектра в линейных системах с запаздыванием по состоянию при помощи статической обратной связи по выходу // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2016. Т. 26. Вып. 4. С. 463-473.
https://doi.org/10.20537/vm160402
27. Ким И.Г. Назначение конечного спектра в линейных системах с несколькими сосредоточенными и распределенными запаздываниями посредством статической обратной связи по выходу // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2020. Т. 30. Вып. 3. С. 367-384.
https://doi.org/10.35634/vm200302
28. Зайцев В.А., Ким И.Г. О назначении произвольного спектра в линейных стационарных системах с соизмеримыми запаздываниями по состоянию при помощи статической обратной связи по выходу // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 3. С. 315-325.
https://doi.org/10.20537/vm170303
29. Kim I.G., Zaitsev V.A. Spectrum assignment by static output feedback for linear systems with time delays in states // 2018 14th International Conference «Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems» (Pyatnitskiy's Conference) (STAB). 2018.
https://doi.org/10.1109/STAB.2018.8408365
30. Zaitsev V.A., Kim I.G. On finite spectrum assignment problem in bilinear systems with state delay // Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki. 2019. Vol. 29. Issue 1. P. 19-28.
https://doi.org/10.20537/vm190102
31. Zaitsev V.A., Kim I.G., Khartovskii V.E. Finite spectrum assignment problem for bilinear systems with several delays // Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki. 2019. Vol. 29. Issue 3. P. 319-331.
https://doi.org/10.20537/vm190303
Поступила в редакцию
2020-09-01
Опубликована 2020-11-20
Опубликована 2020-11-20