Локальная управляемость показателей Ляпунова линейных систем с дискретным временем
Ключевые слова:
дискретная линейная система, показатели Ляпунова, управляемость, стабилизируемость, динамическая система сдвигов
Аннотация
Рассматриваются достаточные и необходимые условия пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова системы $x(m+1)=\left(A(m)+B(m)U(m)\right)x(m), \quad m\in\mathbb Z,\quad x\in\mathbb R^n.$ Изучены свойства устойчивости полного спектра показателей Ляпунова и интегральной разделенности линейных систем с дискретным временем, получено описание спектрального множества линейной системы в случае устойчивости полного спектра, изучено свойство равномерной полной управляемости линейной системы с дискретным временем, изучены свойства оболочки Бебутова линейной управляемой системы с дискретным временем.
Литература
1. Адрианова Л.Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. СПб.: Изд. СПбГУ, 1992.
2. Банщикова И.Н., Попова С.Н. О спектральном множестве линейной дискретной системы с устойчивыми показателями // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2016. Т. 26. Вып. 1. С. 15-26.
https://doi.org/10.20537/vm160102
3. Банщикова И.Н. Пример линейной дискретной системы с неустойчивыми показателями // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2016. Т. 26. Вып. 2. С. 169-176.
https://doi.org/10.20537/vm160203
4. Банщикова И.Н., Попова С.Н. О свойстве интегральной разделенности систем с дискретным временем // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 4. С. 481-498.
https://doi.org/10.20537/vm170401
5. Банщикова И.Н. К свойству равномерной полной управляемости систем с дискретным временем // Современные проблемы математики и ее приложений: тезисы Международной (49-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2018. С. 23.
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=32695424
6. Банщикова И.Н., Макаров Е.К., Попова С.Н. Об условиях пропорциональной локальной управляемости спектра показателей Ляпунова линейной системы с дискретным временем // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2019. Т. 29. Вып. 3. С. 301-311.
https://doi.org/10.20537/vm190301
7. Банщикова И.Н., Попова С.Н. Необходимые и достаточные условия пропорциональной локальной управляемости показателей Ляпунова линейных систем с дискретным временем // Дифференциальные уравнения. 2020. Т. 56. № 1. С. 122-132.
https://doi.org/10.1134/S0374064120010148
8. Борухов В.Т., Кветко О.М. Критерии стабилизируемоси дискретных линейных бесконечномерных систем в метрических и ультраметрических пространствах // Известия РАН. Теория и системы управления. 2010. № 2. С. 3-11.
https://elibrary.ru/item.asp?id=14298696
9. Былов Б.Ф. О приведении системы линейных уравнений к диагональному виду // Математический сборник. 1965. Т. 67(109). № 3. С. 338-344.
http://mi.mathnet.ru/msb4370
10. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966.
11. Былов Б.Ф., Изобов Н.А. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейной системы // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 10. С. 1794-1803.
http://mi.mathnet.ru/de820
12. Былов Б.Ф. О приведении линейной системы к блочно-треугольному виду // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. № 12. С. 2027-2031.
http://mi.mathnet.ru/de6381
13. Виноград Р.Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений // Математический сборник. 1957. Т. 42 (84). № 2. С. 207-222.
http://mi.mathnet.ru/msb5050
14. Гайшун И.В. Системы с дискретным временем. Минск: Институт математики НАН Беларуси, 2001.
15. Гришин С.А. Некоторые вопросы управления и устойчивости линейных систем // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 11. С. 1862-1869.
http://mi.mathnet.ru/de4694
16. Демидович В.Б. Об одном признаке устойчивости разностных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 7. С. 1247-1255.
http://mi.mathnet.ru/de759
17. Зайцев В.А. Стабилизация стационарных аффинных управляемых систем с дискретным временем // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51. № 12. С. 1658-1669.
https://doi.org/10.1134/S0374064115120110
18. Изобов Н.А. О старшем показателе линейной системы с экспоненциальными возмущениями // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 7. С. 1186-1192.
http://mi.mathnet.ru/de753
19. Изобов Н.А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Математический анализ. 1974. Т. 12. С. 71-146.
http://mi.mathnet.ru/intm30
20. Изобов Н.А., Зверева Т.Е. Спектр характеристических показателей Ляпунова двухмерной стационарной системы при возмущениях-поворотах // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17. № 11. С. 1964-1977.
http://mi.mathnet.ru/de4393
21. Изобов Н.А. Экспоненциальные показатели линейной системы и их вычисление // Доклады АН БССР. 1982. Т. 26. № 1. С. 5-8.
22. Изобов Н.А. О характеристических показателях линейных систем с гробмановскими возмущениями // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27. № 3. С. 428-437.
http://mi.mathnet.ru/de7427
23. Изобов Н.А. О существовании гробмановских спектральных множеств линейных систем положительной меры // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27. № 6. С. 953-957.
http://mi.mathnet.ru/de7507
24. Кандаков А.А., Чудинов К.М. Эффективный критерий устойчивости дискретной динамической системы // Прикладная математика и вопросы управления. 2017. № 4. С. 88-103.
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=32303669
25. Кандаков А.А., Чудинов К.М. Эффективные критерии экспоненциальной устойчивости автономных разностных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. 2018. Т. 23. № 123. С. 402-414.
https://doi.org/10.20310/1810-0198-2018-23-123-402-414
26. Куликов А.Ю., Малыгина В.В. Устойчивость линейного разностного уравнения и оценки его фундаментального решения // Известия высших учебных заведений. Математика. 2011. № 12. С. 30-41.
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=16951911
27. Леонов Г.А. Проблема Брокетта для линейных дискретных систем управления // Автоматика и телемеханика. 2002. № 5. С. 92-96.
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=16370856
28. Макаров Е.К., Попова С.Н. К методу поворотов для линейных управляемых систем // Доклады НАН Беларуси. 1998. Т. 42. № 6. С. 13-16.
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=28159492
29. Макаров Е.К., Попова С.Н. Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем. Минск: Беларуская навука, 2012.
30. Миллионщиков В.М. Критерий малого изменения направлений решений линейной системы дифференциальных уравнений при малых возмущениях коэффициентов системы // Математические заметки. 1968. Т. 4. № 2. С. 173-180.
http://mi.mathnet.ru/mz6759
31. Миллионщиков В.М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем // Сибирский математический журнал. 1969. Т. 10. № 1. С. 99-104.
http://mi.mathnet.ru/smj5620
32. Миллионщиков В.М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 10. С. 1755-1784.
http://mi.mathnet.ru/de818
33. Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем. М.: Наука, 1970.
34. Попова C.Н. Задачи управления показателями Ляпунова: дис. ... канд. физ.-матем. наук. УдГУ. Ижевск, 1992.
35. Рахимбердиев М.И., Розов Н.Х. Распределение показателей Ляпунова линейных систем с периодическими коэффициентами, близкими в среднем к постоянным // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. № 9. С. 1710-1714.
http://mi.mathnet.ru/de3507
36. Сергеев И.Н. Точные верхние границы подвижности показателей Ляпунова системы дифференциальных уравнений и поведение показателей при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. № 3. С. 438-448.
http://mi.mathnet.ru/de3943
37. Сергеев И.Н. Точные границы подвижности показателей Ляпунова линейных систем при малых в среднем возмущениях // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1986. Вып. 11. С. 32-73.
https://zbmath.org/?q=an:0619.34049
38. Сурков А.Г. О спектральном множестве линейных систем второго порядка с ограниченными возмущениями. Минск, 1984. (Препринт / АН БССР. Ин-т математики; № 22(207)).
39. Тонков Е.Л. К теории линейных управляемых систем. Ижевск: Издательский центр «Удмуртский университет», 2018.
40. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.
41. Энгелькинг Р. Общая топология. М: Мир, 1986.
42. Babiarz A., Czornik A., Makarov E., Niezabitowski M., Popova S. Pole placement theorem for discrete time-varying linear systems // SIAM Journal on Control and Optimization. 2017. Vol. 55. No. 2. P. 671-692.
https://doi.org/10.1137/15m1033666
43. Babiarz A., Banshchikova I., Czornik A., Makarov E., Niezabitowski M., Popova S. Necessary and sufficient conditions for assignability of the Lyapunov spectrum of discrete linear time-varying systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2018. Vol. 63. No. 11. P. 3825-3837.
https://doi.org/10.1109/tac.2018.2823086
44. Babiarz A., Banshchikova I., Czornik A., Makarov E., Niezabitowski M., Popova S. Proportional local assignability of Lyapunov spectrum of linear discrete time-varying systems // SIAM Journal on Control and Optimization. 2019. Vol. 57. No. 2. P. 1355-1377.
https://doi.org/10.1137/17m1141734
45. Bacciotti A., Biglio A. Some remarks about stability of nonlinear discrete-time control systems // Nonlinear Differential Equations and Applications. 2001. Vol. 8. No. 4. P. 425-438.
https://doi.org/10.1007/pl00001456
46. Bittanti S., Bolzern P., De Nicolao G., Engwerda J.C. Comments on “Stabilizability and detectability of discrete-time, time-varying systems” // IEEE Transactions on Automatic Control. 1992. Vol. 37. Issue 8. P. 1274-1275.
https://doi.org/10.1109/9.151126
47. Byrnes C.I., Lin W., Ghosh B.K. Stabilization of discrete-time nonlinear systems by smooth state feedback // Systems and Control Letters. 1993. Vol. 21. No. 3. P. 255-263.
https://doi.org/10.1016/0167-6911(93)90036-6
48. Cheng V. A direct way to stabilize continuous-time and discrete-time linear time-varying systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1979. Vol. 24. Issue 4. P. 641-643.
https://doi.org/10.1109/tac.1979.1102101
49. Dickinson B. On the fundamental theorem of linear state variable feedback // IEEE Transactions on Automatic Control. 1974. Vol. 19. Issue 5. P. 577-579.
https://doi.org/10.1109/tac.1974.1100639
50. Elaydi S. An introduction to difference equations. New York: Springer, 2005.
https://doi.org/10.1007/0-387-27602-5
51. Engwerda J.C. Stabilizability and detectability of discrete-time time-varying systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1990. Vol. 35. Issue 4. P. 425-429.
https://doi.org/10.1109/9.52294
52. Grüne L., Wirth F. Feedback stabilization of discrete-time homogeneous semilinear systems // Systems and Control Letters. 1999. Vol. 37. Issue 1. P. 19-30.
https://doi.org/10.1016/s0167-6911(98)00110-8
53. Halanay A., Ionescu V. Time-varying discrete linear systems: input-output operators, Riccati equations, disturbance attenuation. Basel: Springer, 1994.
https://www.springer.com/gp/book/9783764350123
54. Johnson R., Obaya R., Novo S., Núñez G., Fabbri R. Nonautonomous linear Hamiltonian systems: oscillation, spectral theory and control. Cham: Springer, 2016.
https://doi.org/10.1007/978-3-319-29025-6
55. Kalman R.E. Contribution to the theory of optimal control // Boletin de la Sociedad Matematika Mexicana. 1960. Vol. 5. No 1. P. 102-119.
https://zbmath.org/?q=an:0112.06303
56. Klamka J. Controllability of dynamical systems. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1991.
57. Kwon W., Pearson A. On feedback stabilization of time-varying discrete linear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1978. Vol. 23. No. 3. P. 479-481.
https://doi.org/10.1109/TAC.1978.1101749
58. Lin W. Further results on global stabilization of discrete nonlinear systems // Systems and Control Letters. 1996. Vol. 29. No. 1. P. 51-59.
https://doi.org/10.1016/0167-6911(96)00037-0
59. Perron O. Die Ordnungszahlen linearer Differentialgleichungssysteme // Mathematische Zeitschrift. 1930. Vol. 31. Issue 1. P. 748-766.
https://doi.org/10.1007/bf01246445
60. Popova S.N., Banshchikova I.N. Spectral set of a linear system with discrete time // Journal of Mathematical Sciences. 2018. Vol. 230. No. 5. P. 752-756.
https://doi.org/10.1007/s10958-018-3783-3
61. Popova S.N., Banshchikova I.N. On the property of proportional local assignability of the Lyapunov spectrum for discrete time-varying systems // Proceedings of 2018 14th International Conference “Stability and oscillations of nonlinear control systems” (Pyatnitskiy’s conference) (STAB): Russia, Moscow, V.A. Trapeznikov Institute of control sciences, May 30-June 1, 2018. Moscow: IEEE, 2018.
https://doi.org/10.1109/STAB.2018.8408389
62. Sell G. Topological dynamics and ordinary differential equations (Series Van Nostrand Reinhold mathematical studies). New York: Van Nostrand, 1971.
63. Sell G.R. The Floquet problem for almost periodic linear differential equations. Ordinary and partial differential equations. New York: Springer, 1974. P. 239-251.
https://doi.org/10.1007/BFb0065533
64. Sontag E.D. Mathematical control theory: deterministic finite dimensional systems, vol. 6. New York: Springer, 2013.
https://www.springer.com/gp/book/9780387984896
65. Tsinias J. Stabilizability of discrete-time nonlinear systems // IMA Journal of Mathematical Control and Information. 1989. Vol. 6. Issue 2. P. 135-150.
https://doi.org/10.1093/imamci/6.2.135
66. Wonham W.M. On pole assignment in multi-input controllable linear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1967. Vol. 12. No. 6. P. 660-665.
https://doi.org/10.1109/tac.1967.1098739
67. Zaitsev V. Sufficient conditions for uniform global asymptotic stabilization of discrete-time periodic bilinear systems // IFAC-PapersOnLine. 2017. Vol. 50. Issue 1. P. 11529-11534.
https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2017.08.1623
2. Банщикова И.Н., Попова С.Н. О спектральном множестве линейной дискретной системы с устойчивыми показателями // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2016. Т. 26. Вып. 1. С. 15-26.
https://doi.org/10.20537/vm160102
3. Банщикова И.Н. Пример линейной дискретной системы с неустойчивыми показателями // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2016. Т. 26. Вып. 2. С. 169-176.
https://doi.org/10.20537/vm160203
4. Банщикова И.Н., Попова С.Н. О свойстве интегральной разделенности систем с дискретным временем // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 4. С. 481-498.
https://doi.org/10.20537/vm170401
5. Банщикова И.Н. К свойству равномерной полной управляемости систем с дискретным временем // Современные проблемы математики и ее приложений: тезисы Международной (49-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2018. С. 23.
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=32695424
6. Банщикова И.Н., Макаров Е.К., Попова С.Н. Об условиях пропорциональной локальной управляемости спектра показателей Ляпунова линейной системы с дискретным временем // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2019. Т. 29. Вып. 3. С. 301-311.
https://doi.org/10.20537/vm190301
7. Банщикова И.Н., Попова С.Н. Необходимые и достаточные условия пропорциональной локальной управляемости показателей Ляпунова линейных систем с дискретным временем // Дифференциальные уравнения. 2020. Т. 56. № 1. С. 122-132.
https://doi.org/10.1134/S0374064120010148
8. Борухов В.Т., Кветко О.М. Критерии стабилизируемоси дискретных линейных бесконечномерных систем в метрических и ультраметрических пространствах // Известия РАН. Теория и системы управления. 2010. № 2. С. 3-11.
https://elibrary.ru/item.asp?id=14298696
9. Былов Б.Ф. О приведении системы линейных уравнений к диагональному виду // Математический сборник. 1965. Т. 67(109). № 3. С. 338-344.
http://mi.mathnet.ru/msb4370
10. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966.
11. Былов Б.Ф., Изобов Н.А. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейной системы // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 10. С. 1794-1803.
http://mi.mathnet.ru/de820
12. Былов Б.Ф. О приведении линейной системы к блочно-треугольному виду // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. № 12. С. 2027-2031.
http://mi.mathnet.ru/de6381
13. Виноград Р.Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений // Математический сборник. 1957. Т. 42 (84). № 2. С. 207-222.
http://mi.mathnet.ru/msb5050
14. Гайшун И.В. Системы с дискретным временем. Минск: Институт математики НАН Беларуси, 2001.
15. Гришин С.А. Некоторые вопросы управления и устойчивости линейных систем // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 11. С. 1862-1869.
http://mi.mathnet.ru/de4694
16. Демидович В.Б. Об одном признаке устойчивости разностных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 7. С. 1247-1255.
http://mi.mathnet.ru/de759
17. Зайцев В.А. Стабилизация стационарных аффинных управляемых систем с дискретным временем // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51. № 12. С. 1658-1669.
https://doi.org/10.1134/S0374064115120110
18. Изобов Н.А. О старшем показателе линейной системы с экспоненциальными возмущениями // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 7. С. 1186-1192.
http://mi.mathnet.ru/de753
19. Изобов Н.А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Математический анализ. 1974. Т. 12. С. 71-146.
http://mi.mathnet.ru/intm30
20. Изобов Н.А., Зверева Т.Е. Спектр характеристических показателей Ляпунова двухмерной стационарной системы при возмущениях-поворотах // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17. № 11. С. 1964-1977.
http://mi.mathnet.ru/de4393
21. Изобов Н.А. Экспоненциальные показатели линейной системы и их вычисление // Доклады АН БССР. 1982. Т. 26. № 1. С. 5-8.
22. Изобов Н.А. О характеристических показателях линейных систем с гробмановскими возмущениями // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27. № 3. С. 428-437.
http://mi.mathnet.ru/de7427
23. Изобов Н.А. О существовании гробмановских спектральных множеств линейных систем положительной меры // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27. № 6. С. 953-957.
http://mi.mathnet.ru/de7507
24. Кандаков А.А., Чудинов К.М. Эффективный критерий устойчивости дискретной динамической системы // Прикладная математика и вопросы управления. 2017. № 4. С. 88-103.
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=32303669
25. Кандаков А.А., Чудинов К.М. Эффективные критерии экспоненциальной устойчивости автономных разностных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. 2018. Т. 23. № 123. С. 402-414.
https://doi.org/10.20310/1810-0198-2018-23-123-402-414
26. Куликов А.Ю., Малыгина В.В. Устойчивость линейного разностного уравнения и оценки его фундаментального решения // Известия высших учебных заведений. Математика. 2011. № 12. С. 30-41.
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=16951911
27. Леонов Г.А. Проблема Брокетта для линейных дискретных систем управления // Автоматика и телемеханика. 2002. № 5. С. 92-96.
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=16370856
28. Макаров Е.К., Попова С.Н. К методу поворотов для линейных управляемых систем // Доклады НАН Беларуси. 1998. Т. 42. № 6. С. 13-16.
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=28159492
29. Макаров Е.К., Попова С.Н. Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем. Минск: Беларуская навука, 2012.
30. Миллионщиков В.М. Критерий малого изменения направлений решений линейной системы дифференциальных уравнений при малых возмущениях коэффициентов системы // Математические заметки. 1968. Т. 4. № 2. С. 173-180.
http://mi.mathnet.ru/mz6759
31. Миллионщиков В.М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем // Сибирский математический журнал. 1969. Т. 10. № 1. С. 99-104.
http://mi.mathnet.ru/smj5620
32. Миллионщиков В.М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 10. С. 1755-1784.
http://mi.mathnet.ru/de818
33. Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем. М.: Наука, 1970.
34. Попова C.Н. Задачи управления показателями Ляпунова: дис. ... канд. физ.-матем. наук. УдГУ. Ижевск, 1992.
35. Рахимбердиев М.И., Розов Н.Х. Распределение показателей Ляпунова линейных систем с периодическими коэффициентами, близкими в среднем к постоянным // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. № 9. С. 1710-1714.
http://mi.mathnet.ru/de3507
36. Сергеев И.Н. Точные верхние границы подвижности показателей Ляпунова системы дифференциальных уравнений и поведение показателей при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. № 3. С. 438-448.
http://mi.mathnet.ru/de3943
37. Сергеев И.Н. Точные границы подвижности показателей Ляпунова линейных систем при малых в среднем возмущениях // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1986. Вып. 11. С. 32-73.
https://zbmath.org/?q=an:0619.34049
38. Сурков А.Г. О спектральном множестве линейных систем второго порядка с ограниченными возмущениями. Минск, 1984. (Препринт / АН БССР. Ин-т математики; № 22(207)).
39. Тонков Е.Л. К теории линейных управляемых систем. Ижевск: Издательский центр «Удмуртский университет», 2018.
40. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.
41. Энгелькинг Р. Общая топология. М: Мир, 1986.
42. Babiarz A., Czornik A., Makarov E., Niezabitowski M., Popova S. Pole placement theorem for discrete time-varying linear systems // SIAM Journal on Control and Optimization. 2017. Vol. 55. No. 2. P. 671-692.
https://doi.org/10.1137/15m1033666
43. Babiarz A., Banshchikova I., Czornik A., Makarov E., Niezabitowski M., Popova S. Necessary and sufficient conditions for assignability of the Lyapunov spectrum of discrete linear time-varying systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2018. Vol. 63. No. 11. P. 3825-3837.
https://doi.org/10.1109/tac.2018.2823086
44. Babiarz A., Banshchikova I., Czornik A., Makarov E., Niezabitowski M., Popova S. Proportional local assignability of Lyapunov spectrum of linear discrete time-varying systems // SIAM Journal on Control and Optimization. 2019. Vol. 57. No. 2. P. 1355-1377.
https://doi.org/10.1137/17m1141734
45. Bacciotti A., Biglio A. Some remarks about stability of nonlinear discrete-time control systems // Nonlinear Differential Equations and Applications. 2001. Vol. 8. No. 4. P. 425-438.
https://doi.org/10.1007/pl00001456
46. Bittanti S., Bolzern P., De Nicolao G., Engwerda J.C. Comments on “Stabilizability and detectability of discrete-time, time-varying systems” // IEEE Transactions on Automatic Control. 1992. Vol. 37. Issue 8. P. 1274-1275.
https://doi.org/10.1109/9.151126
47. Byrnes C.I., Lin W., Ghosh B.K. Stabilization of discrete-time nonlinear systems by smooth state feedback // Systems and Control Letters. 1993. Vol. 21. No. 3. P. 255-263.
https://doi.org/10.1016/0167-6911(93)90036-6
48. Cheng V. A direct way to stabilize continuous-time and discrete-time linear time-varying systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1979. Vol. 24. Issue 4. P. 641-643.
https://doi.org/10.1109/tac.1979.1102101
49. Dickinson B. On the fundamental theorem of linear state variable feedback // IEEE Transactions on Automatic Control. 1974. Vol. 19. Issue 5. P. 577-579.
https://doi.org/10.1109/tac.1974.1100639
50. Elaydi S. An introduction to difference equations. New York: Springer, 2005.
https://doi.org/10.1007/0-387-27602-5
51. Engwerda J.C. Stabilizability and detectability of discrete-time time-varying systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1990. Vol. 35. Issue 4. P. 425-429.
https://doi.org/10.1109/9.52294
52. Grüne L., Wirth F. Feedback stabilization of discrete-time homogeneous semilinear systems // Systems and Control Letters. 1999. Vol. 37. Issue 1. P. 19-30.
https://doi.org/10.1016/s0167-6911(98)00110-8
53. Halanay A., Ionescu V. Time-varying discrete linear systems: input-output operators, Riccati equations, disturbance attenuation. Basel: Springer, 1994.
https://www.springer.com/gp/book/9783764350123
54. Johnson R., Obaya R., Novo S., Núñez G., Fabbri R. Nonautonomous linear Hamiltonian systems: oscillation, spectral theory and control. Cham: Springer, 2016.
https://doi.org/10.1007/978-3-319-29025-6
55. Kalman R.E. Contribution to the theory of optimal control // Boletin de la Sociedad Matematika Mexicana. 1960. Vol. 5. No 1. P. 102-119.
https://zbmath.org/?q=an:0112.06303
56. Klamka J. Controllability of dynamical systems. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1991.
57. Kwon W., Pearson A. On feedback stabilization of time-varying discrete linear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1978. Vol. 23. No. 3. P. 479-481.
https://doi.org/10.1109/TAC.1978.1101749
58. Lin W. Further results on global stabilization of discrete nonlinear systems // Systems and Control Letters. 1996. Vol. 29. No. 1. P. 51-59.
https://doi.org/10.1016/0167-6911(96)00037-0
59. Perron O. Die Ordnungszahlen linearer Differentialgleichungssysteme // Mathematische Zeitschrift. 1930. Vol. 31. Issue 1. P. 748-766.
https://doi.org/10.1007/bf01246445
60. Popova S.N., Banshchikova I.N. Spectral set of a linear system with discrete time // Journal of Mathematical Sciences. 2018. Vol. 230. No. 5. P. 752-756.
https://doi.org/10.1007/s10958-018-3783-3
61. Popova S.N., Banshchikova I.N. On the property of proportional local assignability of the Lyapunov spectrum for discrete time-varying systems // Proceedings of 2018 14th International Conference “Stability and oscillations of nonlinear control systems” (Pyatnitskiy’s conference) (STAB): Russia, Moscow, V.A. Trapeznikov Institute of control sciences, May 30-June 1, 2018. Moscow: IEEE, 2018.
https://doi.org/10.1109/STAB.2018.8408389
62. Sell G. Topological dynamics and ordinary differential equations (Series Van Nostrand Reinhold mathematical studies). New York: Van Nostrand, 1971.
63. Sell G.R. The Floquet problem for almost periodic linear differential equations. Ordinary and partial differential equations. New York: Springer, 1974. P. 239-251.
https://doi.org/10.1007/BFb0065533
64. Sontag E.D. Mathematical control theory: deterministic finite dimensional systems, vol. 6. New York: Springer, 2013.
https://www.springer.com/gp/book/9780387984896
65. Tsinias J. Stabilizability of discrete-time nonlinear systems // IMA Journal of Mathematical Control and Information. 1989. Vol. 6. Issue 2. P. 135-150.
https://doi.org/10.1093/imamci/6.2.135
66. Wonham W.M. On pole assignment in multi-input controllable linear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1967. Vol. 12. No. 6. P. 660-665.
https://doi.org/10.1109/tac.1967.1098739
67. Zaitsev V. Sufficient conditions for uniform global asymptotic stabilization of discrete-time periodic bilinear systems // IFAC-PapersOnLine. 2017. Vol. 50. Issue 1. P. 11529-11534.
https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2017.08.1623
Поступила в редакцию
2021-02-10
Опубликована 2021-05-20
Опубликована 2021-05-20