Численный алгоритм для модели популяционной динамики дробного порядка с запаздыванием
Ключевые слова:
модель популяций, дробно-диффузионное уравнение, нелинейность в операторе дифференцирования, функциональное запаздывание, разностная схема, метод Ньютона, порядок сходимости
Аннотация
Для дробно-диффузионного уравнения с нелинейностью в операторе дифференцирования и с эффектом функционального запаздывания строится неявный численный метод, основанный на аппроксимации дробной производной и применении интерполяции и экстраполяции дискретной предыстории. Источником данной задачи является обобщенная модель из теории популяции. С помощью дробного дискретного аналога леммы Гронуолла доказана сходимость метода при определенных условиях. Возникающая система нелинейных уравнений с помощью метода Ньютона сводится к~последовательности линейных систем с трехдиагональными матрицами. Результаты продемонстрированны на тестовом примере с распределенным запаздыванием и на модельном примере из теории популяции с постоянным сосредоточенным запаздыванием.
Литература
1. Srivastava V.K., Kumar S., Awasthi M.K., Singh K.B. Two-dimensional time fractional-order biological population model and its analytical solution // Egyptian Journal of Basic and Applied Sciences. 2014. Vol. 1. Issue 1. P. 71-76.
https://doi.org/10.1016/j.ejbas.2014.03.001
2. Бабский В.Г., Мышкис А.Д. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия // Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983. С. 383-394.
3. Macías-Díaz J.E. Numerical study of the process of nonlinear supratransmission in Riesz space-fractional sine-Gordon equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2017. Vol. 46. P. 89-102.
https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2016.11.002
4. Gao G., Alikhanov A.A., Sun Z. The temporal second order difference schemes based on the interpolation approximation for solving the time multi-term and distributed-order fractional sub-diffusion equations // Journal of Scientific Computing. 2017. Vol. 73. No. 1. P. 93-121.
https://doi.org/10.1007/s10915-017-0407-x
5. Stynes M., O'Riordan E., Gracia J. Error analysis of a finite difference method on graded meshes for a time-fractional diffusion equation // SIAM Journal on Numerical Analysis. 2017. Vol. 55. No. 2. P. 1057-1079.
https://doi.org/10.1137/16M1082329
6. Liao H., Li D., Zhang J. Sharp error estimate of the nonuniform L1 formula for linear reaction-subdiffusion equations // SIAM Journal on Numerical Analysis. 2018. Vol. 56. No. 2. P. 1112-1133.
https://doi.org/10.1137/17M1131829
7. Chen H., Stynes M. Error analysis of a second-order method on fitted meshes for a time-fractional diffusion problem // Journal of Scientific Computing. 2019. Vol. 79. No. 1. P. 624-647.
https://doi.org/10.1007/s10915-018-0863-y
8. Płociniczak Ł. Numerical method for the time-fractional porous medium equation // SIAM Journal on Numerical Analysis. 2019. Vol. 57. No. 2. P. 638-656.
https://doi.org/10.1137/18M1192561
9. Li D., Liao H., Sun W., Wang J., Zhang J. Analysis of L1-Galerkin FEMs for time-fractional nonlinear parabolic problems // Communications in Computational Physics. 2018. Vol. 24. No. 1. P. 86-103.
https://doi.org/10.4208/cicp.OA-2017-0080
10. Li L., Zhou B., Chen X., Wang Z. Convergence and stability of compact finite difference method for nonlinear time fractional reaction-diffusion equations with delay // Applied Mathematics and Computation. 2018. Vol. 337. P. 144-152.
https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.04.057
11. Hendy A.S., Pimenov V.G., Macías-Días J.E. Convergence and stability estimates in difference setting for time-fractional parabolic equations with functional delay // Numerical Methods for Partial Differential Equations. 2020. Vol. 36. No. 1. P. 118-132.
https://doi.org/10.1002/num.22421
12. Пименов В.Г. Разностные методы решения уравнений в частных производных с наследственностью. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2014.
https://elibrary.ru/item.asp?id=26520733
13. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.
14. Gorbova T., Solodushkin S. Nonlinear difference scheme for fractional equation with functional delay // AIP Conference Proceedings. 2020. Vol. 2312. Issue 1. P. 050007.
https://doi.org/10.1063/5.0035580
15. Li C.P., Zeng F.H. Numerical methods for fractional calculus. Boca Raton: CRC Press, Taylor and Francis Group, 2015.
16. Ким А.В., Пименов В.Г. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-диффренциальных уравнений. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004.
https://doi.org/10.1016/j.ejbas.2014.03.001
2. Бабский В.Г., Мышкис А.Д. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия // Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983. С. 383-394.
3. Macías-Díaz J.E. Numerical study of the process of nonlinear supratransmission in Riesz space-fractional sine-Gordon equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2017. Vol. 46. P. 89-102.
https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2016.11.002
4. Gao G., Alikhanov A.A., Sun Z. The temporal second order difference schemes based on the interpolation approximation for solving the time multi-term and distributed-order fractional sub-diffusion equations // Journal of Scientific Computing. 2017. Vol. 73. No. 1. P. 93-121.
https://doi.org/10.1007/s10915-017-0407-x
5. Stynes M., O'Riordan E., Gracia J. Error analysis of a finite difference method on graded meshes for a time-fractional diffusion equation // SIAM Journal on Numerical Analysis. 2017. Vol. 55. No. 2. P. 1057-1079.
https://doi.org/10.1137/16M1082329
6. Liao H., Li D., Zhang J. Sharp error estimate of the nonuniform L1 formula for linear reaction-subdiffusion equations // SIAM Journal on Numerical Analysis. 2018. Vol. 56. No. 2. P. 1112-1133.
https://doi.org/10.1137/17M1131829
7. Chen H., Stynes M. Error analysis of a second-order method on fitted meshes for a time-fractional diffusion problem // Journal of Scientific Computing. 2019. Vol. 79. No. 1. P. 624-647.
https://doi.org/10.1007/s10915-018-0863-y
8. Płociniczak Ł. Numerical method for the time-fractional porous medium equation // SIAM Journal on Numerical Analysis. 2019. Vol. 57. No. 2. P. 638-656.
https://doi.org/10.1137/18M1192561
9. Li D., Liao H., Sun W., Wang J., Zhang J. Analysis of L1-Galerkin FEMs for time-fractional nonlinear parabolic problems // Communications in Computational Physics. 2018. Vol. 24. No. 1. P. 86-103.
https://doi.org/10.4208/cicp.OA-2017-0080
10. Li L., Zhou B., Chen X., Wang Z. Convergence and stability of compact finite difference method for nonlinear time fractional reaction-diffusion equations with delay // Applied Mathematics and Computation. 2018. Vol. 337. P. 144-152.
https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.04.057
11. Hendy A.S., Pimenov V.G., Macías-Días J.E. Convergence and stability estimates in difference setting for time-fractional parabolic equations with functional delay // Numerical Methods for Partial Differential Equations. 2020. Vol. 36. No. 1. P. 118-132.
https://doi.org/10.1002/num.22421
12. Пименов В.Г. Разностные методы решения уравнений в частных производных с наследственностью. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2014.
https://elibrary.ru/item.asp?id=26520733
13. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.
14. Gorbova T., Solodushkin S. Nonlinear difference scheme for fractional equation with functional delay // AIP Conference Proceedings. 2020. Vol. 2312. Issue 1. P. 050007.
https://doi.org/10.1063/5.0035580
15. Li C.P., Zeng F.H. Numerical methods for fractional calculus. Boca Raton: CRC Press, Taylor and Francis Group, 2015.
16. Ким А.В., Пименов В.Г. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-диффренциальных уравнений. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004.
Поступила в редакцию
2021-03-04
Опубликована 2021-05-20
Опубликована 2021-05-20