Дифференциальная игра $N$ лиц, в которой существует паретовское равновесие угроз и контругроз, но отсутствует равновесие по Нэшу
Ключевые слова:
бескоалиционные игры в нормальной форме, равновесие по Нэшу, равновесие угроз и контругроз, максимум по Парето
Аннотация
Рассматривается дифференциальная позиционная линейно-квадратичная игра $N$ лиц. Широкое распространение в теории бескоалиционных дифференциальных игр получило равновесие по Нэшу. Однако равновесие по Нэшу может быть внутренне и внешне неустойчивым, что является негативом при его практическом использовании. Избежать последствий такой неустойчивости позволила бы максимальность по Парето ситуации равновесия по Нэшу. Но такое совпадение - явление скорее экзотическое (по крайней мере нам известно лишь три случая такого совпадения). По этой причине предлагается рассмотреть равновесие угроз и контругроз. В статье установлены коэффициентные критерии, при выполнении которых в дифференциальной позиционной линейно-квадратичной игре $N$ лиц существует такое паретовское равновесие угроз и контругроз и одновременно не существует ситуации равновесия по Нэшу, получен явный вид решения игры.
Литература
1. Nash J.F. Equilibrium points in n-person games // Proc. Nat. Academ. Sci. USA. 1950. Vol. 36. No. 1. P. 48-49.
http://doi.org/10.1073/pnas.36.1.48
2. Nash J. Non-cooperative games // Annals of Mathematics. 1951. Vol. 54. No. 2. P. 286-295.
https://doi.org/10.2307/1969529
3. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Физматлит, 2007.
4. Case J. A class of games having Pareto optimal Nash equilibria // Journal of Optimization Theory and Applications. 1974. Vol. 13. No. 3. P. 379-385.
https://doi.org/10.1007/BF00934872
5. Жуковский В.И., Чикрий А.А. Дифференциальные уравнения. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. М.: Юрайт, 2017.
6. Льюс Р.Д., Райфа Х. Игры и решения. М.: Изд-во иностранной литературы, 1961.
7. Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971.
8. Жуковский В.И., Тынянский Н.Т. Равновесные управления многокритериальных динамических задач. М.: Изд-во МГУ, 1984.
9. Вилкас Э.Й. Формализация проблемы выбора теоретико-игрового критерия оптимальности // Математические методы в социальных науках: Сб. статей. Вильнюс: Ин-т математики и кибернетики АН Лит. ССР. 1972. Вып. 2. С. 9-55.
10. Вилкас Э.Й., Майминас Е.З. Решения: теория, информация, моделирование. М.: Радио и связь, 1981.
11. Смольяков Э.Р. Теория конфликтных равновесий. М.: УРСС, 2005.
12. Вайсборд Э.М. О коалиционных дифференциальных играх // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10. № 4. С. 613-623.
http://mi.mathnet.ru/de2148
13. Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности. Равновесие угроз и контругроз. М.: Красанд, 2010.
14. Жуковский В.И., Кудрявцев К.Н., Самсонов С.В., Высокос М.И., Бельских Ю.А. Класс дифференциальных игр, в которых отсутствует равновесие по Нэшу, но существует равновесие угроз и контругроз // Вестник Южно-Уральского университета. Сер. Математика. Механика. Физика. 2018. Т. 10. № 2. С. 5-21.
https://doi.org/10.14529/mmph180201
15. Biltchev S.V. $\varepsilon$-Z-equilibrium in a differential game described by a parabolic system // Many Players Differential Game. Rousse, Bulgaria: Technical Univ., 1984. P. 47-52.
16. Zhukovskii V.I. Some problems of non-antagonistic differential games // Mathematical Method in Operation Research. Sofia, Bulgaria: Academy of Sciences, 1985. P. 103-195.
17. Dochev D.T., Stojanov N.V. Existence of Z-equilibrium in a differential game with delay // Many Players Differential Game. Rousse, Bulgaria: Technical Univ., 1984. P. 64-72.
18. Gaidov S.D. Z-equilibrium in stochastic differential game // Many Players Differential Game. Rousse, Bulgaria: Technical Univ., 1984. P. 53-63.
19. Чернов А.В. О дифференциальных играх в банаховом пространстве на фиксированной цепочке // Математическая теория игр и ее приложения. 2020. Т. 12. Вып. 3. C. 89-118.
http://mi.mathnet.ru/mgta265
20. Tersian S.A. On the Z-equilibrium points in a differential game // Many Players Differential Game. Rousse, Bulgaria: Technical Univ., 1984. P. 106-111.
21. Rettieva A.N. Cooperation in dynamic multicriteria games with random horizons // Journal of Global Optimization. 2018. Vol. 76. No. 3. P. 455-470.
https://doi.org/10.1007/s10898-018-0658-6
22. Rettieva A.N. Dynamic multicriteria games with finite horizon // Mathematics. 2018. Vol. 6. Issue 9. P. 156.
https://doi.org/10.3390/math6090156
23. Rettieva A.N. Equilibria in dynamic multicriteria games // International Game Theory Review. 2017. Vol. 19. No. 1. P. 1750002.
https://doi.org/10.1142/S0219198917500025
24. Mazalov V.V., Rettieva A.N., Avrachenkov K.E. Linear-quadratic discrete-time dynamic potential games // Automation and Remote Control. 2017. Vol. 78. Issue 8. P. 1537-1544.
https://doi.org/10.1134/S0005117917080136
25. Sur les racines d'une équation fondamentale: Extrait d'une lettre de M.A. Hirsch à M.I. Bendixson // Acta Math. 1902. Vol. 25. P. 367-370.
https://doi.org/10.1007/BF02419031
26. Parker W.V. The characteristic roots a matrix // Duke Mathematical Journal. 1937. Vol. 3. Issue 3. P. 484-487.
https://doi.org/10.1215/S0012-7094-37-00338-7
27. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и и ее применения. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960.
28. Вайсборд Э.М., Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры нескольких лиц и их приложения. М.: Советское радио, 1980.
29. Zhukovskii V.I., Salukvadze M.E. The vector-valued maximin. New York: Academic Press, 1994.
https://doi.org/10.1016/s0076-5392(08)x6114-4
30. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1984.
31. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 2004.
http://doi.org/10.1073/pnas.36.1.48
2. Nash J. Non-cooperative games // Annals of Mathematics. 1951. Vol. 54. No. 2. P. 286-295.
https://doi.org/10.2307/1969529
3. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Физматлит, 2007.
4. Case J. A class of games having Pareto optimal Nash equilibria // Journal of Optimization Theory and Applications. 1974. Vol. 13. No. 3. P. 379-385.
https://doi.org/10.1007/BF00934872
5. Жуковский В.И., Чикрий А.А. Дифференциальные уравнения. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. М.: Юрайт, 2017.
6. Льюс Р.Д., Райфа Х. Игры и решения. М.: Изд-во иностранной литературы, 1961.
7. Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971.
8. Жуковский В.И., Тынянский Н.Т. Равновесные управления многокритериальных динамических задач. М.: Изд-во МГУ, 1984.
9. Вилкас Э.Й. Формализация проблемы выбора теоретико-игрового критерия оптимальности // Математические методы в социальных науках: Сб. статей. Вильнюс: Ин-т математики и кибернетики АН Лит. ССР. 1972. Вып. 2. С. 9-55.
10. Вилкас Э.Й., Майминас Е.З. Решения: теория, информация, моделирование. М.: Радио и связь, 1981.
11. Смольяков Э.Р. Теория конфликтных равновесий. М.: УРСС, 2005.
12. Вайсборд Э.М. О коалиционных дифференциальных играх // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10. № 4. С. 613-623.
http://mi.mathnet.ru/de2148
13. Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности. Равновесие угроз и контругроз. М.: Красанд, 2010.
14. Жуковский В.И., Кудрявцев К.Н., Самсонов С.В., Высокос М.И., Бельских Ю.А. Класс дифференциальных игр, в которых отсутствует равновесие по Нэшу, но существует равновесие угроз и контругроз // Вестник Южно-Уральского университета. Сер. Математика. Механика. Физика. 2018. Т. 10. № 2. С. 5-21.
https://doi.org/10.14529/mmph180201
15. Biltchev S.V. $\varepsilon$-Z-equilibrium in a differential game described by a parabolic system // Many Players Differential Game. Rousse, Bulgaria: Technical Univ., 1984. P. 47-52.
16. Zhukovskii V.I. Some problems of non-antagonistic differential games // Mathematical Method in Operation Research. Sofia, Bulgaria: Academy of Sciences, 1985. P. 103-195.
17. Dochev D.T., Stojanov N.V. Existence of Z-equilibrium in a differential game with delay // Many Players Differential Game. Rousse, Bulgaria: Technical Univ., 1984. P. 64-72.
18. Gaidov S.D. Z-equilibrium in stochastic differential game // Many Players Differential Game. Rousse, Bulgaria: Technical Univ., 1984. P. 53-63.
19. Чернов А.В. О дифференциальных играх в банаховом пространстве на фиксированной цепочке // Математическая теория игр и ее приложения. 2020. Т. 12. Вып. 3. C. 89-118.
http://mi.mathnet.ru/mgta265
20. Tersian S.A. On the Z-equilibrium points in a differential game // Many Players Differential Game. Rousse, Bulgaria: Technical Univ., 1984. P. 106-111.
21. Rettieva A.N. Cooperation in dynamic multicriteria games with random horizons // Journal of Global Optimization. 2018. Vol. 76. No. 3. P. 455-470.
https://doi.org/10.1007/s10898-018-0658-6
22. Rettieva A.N. Dynamic multicriteria games with finite horizon // Mathematics. 2018. Vol. 6. Issue 9. P. 156.
https://doi.org/10.3390/math6090156
23. Rettieva A.N. Equilibria in dynamic multicriteria games // International Game Theory Review. 2017. Vol. 19. No. 1. P. 1750002.
https://doi.org/10.1142/S0219198917500025
24. Mazalov V.V., Rettieva A.N., Avrachenkov K.E. Linear-quadratic discrete-time dynamic potential games // Automation and Remote Control. 2017. Vol. 78. Issue 8. P. 1537-1544.
https://doi.org/10.1134/S0005117917080136
25. Sur les racines d'une équation fondamentale: Extrait d'une lettre de M.A. Hirsch à M.I. Bendixson // Acta Math. 1902. Vol. 25. P. 367-370.
https://doi.org/10.1007/BF02419031
26. Parker W.V. The characteristic roots a matrix // Duke Mathematical Journal. 1937. Vol. 3. Issue 3. P. 484-487.
https://doi.org/10.1215/S0012-7094-37-00338-7
27. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и и ее применения. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960.
28. Вайсборд Э.М., Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры нескольких лиц и их приложения. М.: Советское радио, 1980.
29. Zhukovskii V.I., Salukvadze M.E. The vector-valued maximin. New York: Academic Press, 1994.
https://doi.org/10.1016/s0076-5392(08)x6114-4
30. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1984.
31. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 2004.
Поступила в редакцию
2021-03-15
Опубликована 2021-05-20
Опубликована 2021-05-20