Схема Кранка-Никольсон для дробного двумерного по пространству уравнения диффузии с функциональным запаздыванием
Ключевые слова:
дробное уравнение диффузии, две пространственные координаты, функциональное запаздывание, аппроксимация Грюнвальда-Летникова, метод Кранка-Никольсон, факторизация, порядок сходимости
Аннотация
Рассматривается двумерное по пространству дробное уравнение диффузии с функциональным запаздыванием общего вида. Для этой задачи конструируется метод Кранка-Никольсон, основанный на сдвинутых формулах Грюнвальда-Летникова для аппроксимации дробных производных по каждой пространственной переменной и применении кусочно-линейной интерполяции дискретной предыстории с экстраполяцией продолжением для учета эффекта запаздывания. Для сведения возникающей системы большой размерности к трехдиагональным системам используется схема Дугласа. Исследована невязка метода. Для получения порядка метода, производится сведение к конструкциям общей разностной схемы систем с наследственностью. Доказана теорема о втором порядке сходимости метода по временным и пространственным шагам. Представлены результаты численных экспериментов.
Литература
1. Пименов В.Г. Разностные методы решения уравнений в частных производных с наследственностью. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2014.
https://elibrary.ru/item.asp?id=26520733
2. Meerschaert M.M., Tadjeran C. Finite difference approximations for two-sided space-fractional partial differential equations // Applied Numerical Mathematics. 2006. Vol. 56. No. 1. P. 80-90.
https://doi.org/10.1016/j.apnum.2005.02.008
3. Tadjeran C., Meerschaert M.M., Scheffler H.P. A second-order accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation // Journal of Computational Physics. 2006. Vol. 213. No. 1. P. 205-213.
https://doi.org/10.1016/j.jcp.2005.08.008
4. Pimenov V.G., Hendy A.S. A fractional analog of Crank-Nicolson method for the two sided space fractional partial equation with functional delay // Ural Mathematical Journal. 2016. Vol. 2. No. 1. P. 48-57.
https://doi.org/10.15826/umj.2016.1.005
5. Meerschaert M.M., Scheffler H.-P., Tadjeran C. Finite difference methods for two-dimensional fractional dispersion equation // Journal of Computational Physics. 2006. Vol. 211. No. 1. P. 249-261.
https://doi.org/10.1016/j.jcp.2005.05.017
6. Tian W., Zhou H., Deng W. A class of second order difference approximations for solving space fractional diffusion equations // Mathematics of Computation. 2015. Vol. 84. No. 294. P. 1703-1727.
https://doi.org/10.1090/S0025-5718-2015-02917-2
7. Jin X.-Q., Lin F.-R., Zhao Z. Preconditioned iterative methods for two-dimensional space-fractional diffusion equations // Communications in Computational Physics. 2015. Vol. 18. No. 2. P. 469-488.
https://doi.org/10.4208/cicp.120314.230115a
8. Lin X.-L., Ng M.K., Sun H.-W. Stability and convergence analysis of finite difference schemes for time-dependent space-fractional diffusion equation with variable diffusion coefficients // Journal of Scientific Computing. 2018. Vol. 75. No. 2. P. 1102-1127.
https://doi.org/10.1007/s10915-017-0581-x
9. Lin X.-L., Ng M.K. A fast solver for multidimensional time-space fractional diffusion equation with variable coefficients // Computers and Mathematics with Applications. 2019. Vol. 78. No. 5. P. 1477-1489.
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2019.04.012
10. Hendy A.S., Macías-Díaz J.E. A conservative scheme with optimal error estimates for a multidimension al space-fractional Gross-Pitaevskii equation // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. 2019. Vol. 29. No. 4. P. 713-723.
https://doi.org/10.2478/amcs-2019-0053
11. Yue X., Shu S., Xu X., Bu W., Pan K. Parallel-in-time multigrid for space-time finite element approximations of two-dimensional space-fractional diffusion equations // Computers and Mathematics with Applications. 2019. Vol. 78. No. 11. P. 3471-3484.
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2019.05.017
12. Du R., Alikhanov A.A., Sun Z.-Z. Temporal second order difference schemes for the multi-dimensional variable-order time fractional sub-diffusion equations // Computers and Mathematics with Applications. 2020. Vol. 79. No. 10. P. 2952-2972.
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2020.01.003
13. Zaky M.A., Machado J.T. Multi-dimensional spectral tau methods for distributed-order fractional diffusion equations // Computers and Mathematics with Applications. 2020. Vol. 79. No. 2. P. 476-488.
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2019.07.008
14. Ким А.В., Пименов В.Г. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М.-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004.
15. Лекомцев А.В., Пименов В.Г. Сходимость метода переменных направлений численного решения уравнения теплопроводности с запаздыванием // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 1. С. 102-118.
http://mi.mathnet.ru/timm531
16. Pimenov V., Hendy A., Ibrahim M. Numerical method for two-dimensional space fractional equations with functional delay // AIP Conference Proceedings. 2020. Vol. 2312. 050017. P. 1-6.
https://doi.org/10.1063/5.0035482
https://elibrary.ru/item.asp?id=26520733
2. Meerschaert M.M., Tadjeran C. Finite difference approximations for two-sided space-fractional partial differential equations // Applied Numerical Mathematics. 2006. Vol. 56. No. 1. P. 80-90.
https://doi.org/10.1016/j.apnum.2005.02.008
3. Tadjeran C., Meerschaert M.M., Scheffler H.P. A second-order accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation // Journal of Computational Physics. 2006. Vol. 213. No. 1. P. 205-213.
https://doi.org/10.1016/j.jcp.2005.08.008
4. Pimenov V.G., Hendy A.S. A fractional analog of Crank-Nicolson method for the two sided space fractional partial equation with functional delay // Ural Mathematical Journal. 2016. Vol. 2. No. 1. P. 48-57.
https://doi.org/10.15826/umj.2016.1.005
5. Meerschaert M.M., Scheffler H.-P., Tadjeran C. Finite difference methods for two-dimensional fractional dispersion equation // Journal of Computational Physics. 2006. Vol. 211. No. 1. P. 249-261.
https://doi.org/10.1016/j.jcp.2005.05.017
6. Tian W., Zhou H., Deng W. A class of second order difference approximations for solving space fractional diffusion equations // Mathematics of Computation. 2015. Vol. 84. No. 294. P. 1703-1727.
https://doi.org/10.1090/S0025-5718-2015-02917-2
7. Jin X.-Q., Lin F.-R., Zhao Z. Preconditioned iterative methods for two-dimensional space-fractional diffusion equations // Communications in Computational Physics. 2015. Vol. 18. No. 2. P. 469-488.
https://doi.org/10.4208/cicp.120314.230115a
8. Lin X.-L., Ng M.K., Sun H.-W. Stability and convergence analysis of finite difference schemes for time-dependent space-fractional diffusion equation with variable diffusion coefficients // Journal of Scientific Computing. 2018. Vol. 75. No. 2. P. 1102-1127.
https://doi.org/10.1007/s10915-017-0581-x
9. Lin X.-L., Ng M.K. A fast solver for multidimensional time-space fractional diffusion equation with variable coefficients // Computers and Mathematics with Applications. 2019. Vol. 78. No. 5. P. 1477-1489.
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2019.04.012
10. Hendy A.S., Macías-Díaz J.E. A conservative scheme with optimal error estimates for a multidimension al space-fractional Gross-Pitaevskii equation // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. 2019. Vol. 29. No. 4. P. 713-723.
https://doi.org/10.2478/amcs-2019-0053
11. Yue X., Shu S., Xu X., Bu W., Pan K. Parallel-in-time multigrid for space-time finite element approximations of two-dimensional space-fractional diffusion equations // Computers and Mathematics with Applications. 2019. Vol. 78. No. 11. P. 3471-3484.
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2019.05.017
12. Du R., Alikhanov A.A., Sun Z.-Z. Temporal second order difference schemes for the multi-dimensional variable-order time fractional sub-diffusion equations // Computers and Mathematics with Applications. 2020. Vol. 79. No. 10. P. 2952-2972.
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2020.01.003
13. Zaky M.A., Machado J.T. Multi-dimensional spectral tau methods for distributed-order fractional diffusion equations // Computers and Mathematics with Applications. 2020. Vol. 79. No. 2. P. 476-488.
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2019.07.008
14. Ким А.В., Пименов В.Г. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М.-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004.
15. Лекомцев А.В., Пименов В.Г. Сходимость метода переменных направлений численного решения уравнения теплопроводности с запаздыванием // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 1. С. 102-118.
http://mi.mathnet.ru/timm531
16. Pimenov V., Hendy A., Ibrahim M. Numerical method for two-dimensional space fractional equations with functional delay // AIP Conference Proceedings. 2020. Vol. 2312. 050017. P. 1-6.
https://doi.org/10.1063/5.0035482
Поступила в редакцию
2021-03-04
Опубликована 2021-05-20
Опубликована 2021-05-20