Численный метод для дробных диффузионно-волновых уравнений с функциональным запаздыванием

  • Владимир Германович Пименов
    • Уральский федеральный университет
  • Екатерина Евгеньевна Таширова
    • Уральский федеральный университет
Ключевые слова: дробное диффузионно-волновое уравнение, функциональное запаздывание, интерполяция, L2-метод, схема Кранка-Никольсон, порядок сходимости

Аннотация

Для дробного диффузионно-волнового уравнения с нелинейным эффектом функционального запаздывания конструируется неявный численный метод. Схема основана на L2-методе аппроксимации дробной производной порядка от 1 до 2, интерполяции и экстраполяции с заданными свойствами дискретной предыстории и аналоге метода Кранка-Никольсон. С помощью идей общей теории разностных схем с наследственностью исследуется порядок сходимости метода. Порядок сходимости метода существеннее, чем в ранее известных методах, зависит от порядка стартовых значений. Основным моментом доказательства является использование устойчивости L2-метода. Приводятся результаты сравнения численных экспериментов с другими схемами: чисто неявным методом и чисто явным методом, эти результаты показали в целом преимущества предложенной схемы.

Литература

1. Wu J. Theory and applications of partial functional differential equations. New York: Springer, 1996.
https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4050-1
2. Liu P.-P. Periodic solutions in an epidemic model with diffusion and delay // Applied Mathematics and Computation. 2015. Vol. 265. P. 275-291.
https://doi.org/10.1016/j.amc.2015.05.028
3. Пименов В.Г. Разностные методы решения уравнений в частных производных с наследственностью. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2014.
https://elibrary.ru/item.asp?id=26520733
4. Li C., Zeng F. Numerical methods for fractional calculus. Boca Raton: CRC Press, 2015.
5. Sun Z., Wu X. A fully discrete difference scheme for diffusion-wave system // Applied Numerical Mathematics. 2006. Vol. 56. Issue 2. P. 193-209.
https://doi.org/10.1016/j.apnum.2005.03.003
6. Ye H., Liu F., Anh V. Compact difference scheme for distributed-order time-fractional diffusion-wave equation on bounded domains // Journal of Computational Physics. 2015. Vol. 298. P. 652-660.
https://doi.org/10.1016/j.jcp.2015.06.025
7. Hendy A.S., De Staelen R.H., Pimenov V.G. A semi-linear delayed diffusion-wave system with distributed order in time // Numerical Algorithms. 2018. Vol. 77. No. 3. P. 885-903.
https://doi.org/10.1007/s11075-017-0344-7
8. Pimenov V., Tashirova E. Convergence of the L2-method for a fractional diffusion-wave equations with delay // AIP Conference Proceedings. 2020. Vol. 2312. 050016. P. 1-8.
https://doi.org/10.1063/5.0035432
9. Li D., Liao H.-L., Sun W., Wang J., Zhang J. Analysis of L1-Galerkin FEMs for time-fractional nonlinear parabolic problems // Communications in Computational Physics. 2018. Vol. 24. No. 1. P. 86-103.
https://doi.org/10.4208/cicp.OA-2017-0080
10. Li L., Zhou B., Chen X., Wang Z. Convergence and stability of compact finite difference method for nonlinear time fractional reaction-diffusion equations with delay // Applied Mathematics and Computation. 2018. Vol. 337. P. 144-152.
https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.04.057
11. Hendy A.S., Macías-Díaz J.E. A novel discrete Gronwall inequality in the analysis of difference schemes for time-fractional multi-delayed diffusion equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2019. Vol. 73. P. 110-119.
https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2019.02.005
12. Hendy A.S., Zaky M.A. Global consistency analysis of L1-Galerkin spectral schemes for coupled nonlinear space-time fractional Schrödinger equations // Applied Numerical Mathematics. 2020. Vol. 156. P. 276-302.
https://doi.org/10.1016/j.apnum.2020.05.002
13. Ким А.В., Пименов В.Г. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М.-Ижевск: РХД, 2004.
Поступила в редакцию 2021-03-04
Опубликована 2021-05-20
Выпуск
Раздел
Математика
Страницы
156-169