Метод оценки статистической погрешности решения в обратной задаче спектроскопии
Ключевые слова:
коридор погрешности решения, обратная задача, нормальный закон распределения, мёссбауэровская спектроскопия, среднеквадратичная ошибка, парциальные составляющие
Аннотация
Предложен метод получения коридора статистической погрешности решения обратной задачи спектроскопии, для оценки статистической ошибки экспериментальных данных которой может быть применим нормальный закон распределения. С помощью математического моделирования статистической ошибки парциальных спектральных составляющих, полученных по численному устойчивому решению обратной задачи, стало возможным указать погрешность соответствующего решения. Проблема получения коридора погрешности решения обратных задач является актуальной, поскольку существующие способы оценки погрешности решения построены на анализе гладких функциональных зависимостей при наложении жестких ограничений на область допустимых решений (компактность, монотонность и т.п.). Их использование при компьютерной обработке реальных экспериментальных данных крайне затруднительно и поэтому, как правило, не применяется. В работе, на основе выделения парциальных спектральных составляющих и оценки их погрешности, предложен способ получения коридора статистической погрешности решения обратных задач спектроскопии. На примерах обработки мёссбауэровских спектров продемонстрирована необходимость и значимость нахождения коридора погрешности решения для обеспечения достоверных результатов.
Литература
1. Огородников И.Н. Введение в обратные задачи физической диагностики. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2017.
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=29050248
2. Babanov Yu.A., Vasin V.V., Ponomarev D.A., Devyaterikov D.I., Romashev L.N., Ustinov V.V. A subnanometric resolution method for studying local atomic structure of interface and surface of multilayered nanoheterostructure thin films // Thin Solid Films. 2018. Vol. 656. P. 44-52.
https://doi.org/10.1016/j.tsf.2018.04.024
3. Lee J.W., Prenter P.M. An analysis of the numerical solution of Fredholm integral equations of the first kind // Numerische Mathematik. 1978. Vol. 30. No. 1. P. 1-23.
https://doi.org/10.1007/BF01403903
4. Hansen P.C. The Backus-Gilbert method: SVD analysis and fast implementation // Inverse Problems. 1994. Vol. 10. No. 4. P. 895-904.
https://doi.org/10.1088/0266-5611/10/4/009
5. Kabanikhin S.I. Definitions and examples of inverse and ill-posed problems // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. 2008. Vol. 16. No. 4. P. 317-357.
https://doi.org/10.1515/JIIP.2008.019
6. Razavy M. An introduction to inverse problems in physics. Singapore: World Scientific, 2020.
https://doi.org/10.1142/11860
7. Wells J.W., Birkinshaw K. A matrix approach to resolution enhancement of XPS spectra by a modified maximum entropy method // Journal of Electron Spectroscopy and Related Phenomena. 2006. Vol. 152. No. 1-2. P. 37-43.
https://doi.org/10.1016/j.elspec.2006.03.003
8. Xu P. A new look at Akaike's Bayesian information criterion for inverse ill-posed problems // Journal of the Franklin Institute. 2021. Vol. 358. No. 7. P. 4077-4102.
https://doi.org/10.1016/j.jfranklin.2021.03.003
9. Zheng S., Ding C., Nie F. Regularized singular value decomposition and application to recommender system // arXiv:1804.05090 [cs.LG]. 2018.
https://arxiv.org/abs/1804.05090v1
10. Xiong X., Xue X. A fractional Tikhonov regularization method for identifying a space-dependent source in the time-fractional diffusion equation // Applied Mathematics and Computation. 2019. Vol. 349. P. 292-303.
https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.12.063
11. Mohammadian-Behbahani M.-R., Saramad S. Integral-equation based methods for parameter estimation in output pulses of radiation detectors: Application in nuclear medicine and spectroscopy // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment. 2018. Vol. 887. P. 7-12.
https://doi.org/10.1016/j.nima.2017.12.073
12. Vasin V.V. Irregular nonlinear operator equations: Tikhonov's regularization and iterative approximation // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. 2013. Vol. 21. No. 1. P. 109-123.
https://doi.org/10.1515/jip-2012-0084
13. Qiao B., Liu J., Liu J., Yang Z., Chen X. An enhanced sparse regularization method for impact force identification // Mechanical Systems and Signal Processing. 2019. Vol. 126. P. 341-367.
https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2019.02.039
14. Леонов А.С. Для каких обратных задач априорная оценка точности приближенного решения может иметь порядок ошибки данных // Сибирский журнал вычислительной математики. 2014. Т. 17. № 4. С. 339-348.
http://mi.mathnet.ru/sjvm554
15. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова думка, 1986.
16. Морозов В.А. О восстановлении зашумленных сигналов методом регуляризации // Вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13. Вып. 1. С. 247-252.
http://mi.mathnet.ru/vmp26
17. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: УИФ «Наука», 1993.
18. Ягола А.Г. Некорректные задачи с априорной информацией // Сибирские электронные математические известия. 2010. Т. 7. С. 343-361.
http://mi.mathnet.ru/semr292
19. Nemtsova O.M., Ageev A.L., Voronina E.V. The estimation of the error of the hyperfine interaction parameter distribution from Mössbauer spectra // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. Section B: Beam Interactions with Materials and Atoms. 2002. Vol. 187. Issue 1. P. 132-136.
https://doi.org/10.1016/S0168-583X(01)00830-8
20. Sussman M.S. Linear signal combination $T_2$ spectroscopy // Magnetic Resonance Imaging. 2020. Vol. 66. P. 257-266.
https://doi.org/10.1016/j.mri.2019.11.016
21. Henríquez P.A., Ruz G.A. Noise reduction for near-infrared spectroscopy data using extreme learning machines // Engineering Applications of Artificial Intelligence. 2019. Vol. 79. P. 13-22.
https://doi.org/10.1016/j.engappai.2018.12.005
22. Zelada-Ríos L., Pacheco-Barrios K., Galecio-Castillo M., Yamunaqué-Chunga C., Álvarez-Toledo K., Otiniano-Sifuentes R. Acute disseminated encephalomyelitis and COVID-19: A systematic synthesis of worldwide cases // Journal of Neuroimmunology. 2021. Vol. 359. 577674.
https://doi.org/10.1016/j.jneuroim.2021.577674
23. Miguel R.B., Talebi-Moghaddam S., Zamani M., Turcotte C., Daun K.J. Assessing flare combustion efficiency using imaging Fourier transform spectroscopy // Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. 2021. Vol. 273. 107835.
https://doi.org/10.1016/j.jqsrt.2021.107835
24. Calvetti D., Lewis B., Reichel L., Sgallari F. Tikhonov regularization with nonnegativity constraint // Electronic Transactions on Numerical Analysis. 2004. Vol. 18. No. 1. P. 153-173.
25. Lekhtmakher S., Shapiro M. On the paper “Inverse methods for analyzing aerosol spectrometer measurements: A critical review” // Journal of Aerosol Science. 2000. Vol. 31. No. 7. P. 867-873.
https://doi.org/10.1016/S0021-8502(99)00561-3
26. Samaras S., Nicolae D., Böckmann Ch., Vasilescu J., Binietoglou I., Labzovskii L., Toanca F., Papayannis A. Using Raman-lidar-based regularized microphysical retrievals and Aerosol Mass Spectrometer measurements for the characterization of biomass burning aerosols // Journal of Computational Physics. 2015. Vol. 299. P. 156-174.
https://doi.org/10.1016/j.jcp.2015.06.045
27. Чуев М.А. Эффективный метод анализа сверхтонкой структуры гамма резонансных спектров с использованием профиля Фойта // Доклады Академии наук. 2011. Т. 438. № 6. С. 747-751.
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=16525971
28. Pearson K. On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables in such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. Series 5. 1900. Vol. 50. No. 302. P. 157-175.
https://doi.org/10.1080/14786440009463897
29. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. М.: Мир, 1985.
30. Prakash J., Sanny D., Kalva S.K., Pramanik M., Yalavarthy P.K. Fractional regularization to improve photoacoustic tomographic image reconstruction // IEEE Transactions on Medical Imaging. 2019. Vol. 38. No. 8. P. 1935-1947.
https://doi.org/10.1109/TMI.2018.2889314
31. Reddy G.D. A class of parameter choice rules for stationary iterated weighted Tikhonov regularization scheme // Applied Mathematics and Computation. 2019. Vol. 347. P. 464-476.
https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.11.015
32. Mohammady S., Eslahchi M.R. Extension of Tikhonov regularization method using linear fractional programming // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2020. Vol. 371. 112677.
https://doi.org/10.1016/j.cam.2019.112677
33. Gao Y., Xiao L., Wu B. TSVD and Tikhonov methods and influence factor analysis for NMR data in shale rock // Journal of Petroleum Science and Engineering. 2020. Vol. 194. 107508.
https://doi.org/10.1016/j.petrol.2020.107508
34. Ким И.Г., Латыпова Н.В., Моторина О.Л. Численные методы: учеб.-метод. пособие. Ч. 2. Ижевск: Изд-во «Удмуртский университет», 2013.
35. Немцова О.М., Коныгин Г.Н. Повышение разрешающей способности метода регуляризации Тихонова при решении обратной задачи мёссбауэровской спектроскопии // Журнал прикладной спектроскопии. 2018. Т. 85. № 5. С. 830-835.
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=36962286
36. Немцова О.М., Коныгин Г.Н., Порсев В.Е. Разрешение перекрывающихся спектральных составляющих методом взвешенной регуляризации Тихонова // Журнал прикладной спектроскопии. 2021. Т. 88. № 2. С. 315-324.
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=44889288
37. Коныгин Г.Н., Немцова О.М., Порсев В.Е. Обработка мёссбауэровских спектров твердых растворов с применением функции Фойгта // Журнал прикладной спектроскопии. 2019. Т. 86. № 3. С. 374-381.
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=37522491
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=29050248
2. Babanov Yu.A., Vasin V.V., Ponomarev D.A., Devyaterikov D.I., Romashev L.N., Ustinov V.V. A subnanometric resolution method for studying local atomic structure of interface and surface of multilayered nanoheterostructure thin films // Thin Solid Films. 2018. Vol. 656. P. 44-52.
https://doi.org/10.1016/j.tsf.2018.04.024
3. Lee J.W., Prenter P.M. An analysis of the numerical solution of Fredholm integral equations of the first kind // Numerische Mathematik. 1978. Vol. 30. No. 1. P. 1-23.
https://doi.org/10.1007/BF01403903
4. Hansen P.C. The Backus-Gilbert method: SVD analysis and fast implementation // Inverse Problems. 1994. Vol. 10. No. 4. P. 895-904.
https://doi.org/10.1088/0266-5611/10/4/009
5. Kabanikhin S.I. Definitions and examples of inverse and ill-posed problems // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. 2008. Vol. 16. No. 4. P. 317-357.
https://doi.org/10.1515/JIIP.2008.019
6. Razavy M. An introduction to inverse problems in physics. Singapore: World Scientific, 2020.
https://doi.org/10.1142/11860
7. Wells J.W., Birkinshaw K. A matrix approach to resolution enhancement of XPS spectra by a modified maximum entropy method // Journal of Electron Spectroscopy and Related Phenomena. 2006. Vol. 152. No. 1-2. P. 37-43.
https://doi.org/10.1016/j.elspec.2006.03.003
8. Xu P. A new look at Akaike's Bayesian information criterion for inverse ill-posed problems // Journal of the Franklin Institute. 2021. Vol. 358. No. 7. P. 4077-4102.
https://doi.org/10.1016/j.jfranklin.2021.03.003
9. Zheng S., Ding C., Nie F. Regularized singular value decomposition and application to recommender system // arXiv:1804.05090 [cs.LG]. 2018.
https://arxiv.org/abs/1804.05090v1
10. Xiong X., Xue X. A fractional Tikhonov regularization method for identifying a space-dependent source in the time-fractional diffusion equation // Applied Mathematics and Computation. 2019. Vol. 349. P. 292-303.
https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.12.063
11. Mohammadian-Behbahani M.-R., Saramad S. Integral-equation based methods for parameter estimation in output pulses of radiation detectors: Application in nuclear medicine and spectroscopy // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment. 2018. Vol. 887. P. 7-12.
https://doi.org/10.1016/j.nima.2017.12.073
12. Vasin V.V. Irregular nonlinear operator equations: Tikhonov's regularization and iterative approximation // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. 2013. Vol. 21. No. 1. P. 109-123.
https://doi.org/10.1515/jip-2012-0084
13. Qiao B., Liu J., Liu J., Yang Z., Chen X. An enhanced sparse regularization method for impact force identification // Mechanical Systems and Signal Processing. 2019. Vol. 126. P. 341-367.
https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2019.02.039
14. Леонов А.С. Для каких обратных задач априорная оценка точности приближенного решения может иметь порядок ошибки данных // Сибирский журнал вычислительной математики. 2014. Т. 17. № 4. С. 339-348.
http://mi.mathnet.ru/sjvm554
15. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова думка, 1986.
16. Морозов В.А. О восстановлении зашумленных сигналов методом регуляризации // Вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13. Вып. 1. С. 247-252.
http://mi.mathnet.ru/vmp26
17. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: УИФ «Наука», 1993.
18. Ягола А.Г. Некорректные задачи с априорной информацией // Сибирские электронные математические известия. 2010. Т. 7. С. 343-361.
http://mi.mathnet.ru/semr292
19. Nemtsova O.M., Ageev A.L., Voronina E.V. The estimation of the error of the hyperfine interaction parameter distribution from Mössbauer spectra // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. Section B: Beam Interactions with Materials and Atoms. 2002. Vol. 187. Issue 1. P. 132-136.
https://doi.org/10.1016/S0168-583X(01)00830-8
20. Sussman M.S. Linear signal combination $T_2$ spectroscopy // Magnetic Resonance Imaging. 2020. Vol. 66. P. 257-266.
https://doi.org/10.1016/j.mri.2019.11.016
21. Henríquez P.A., Ruz G.A. Noise reduction for near-infrared spectroscopy data using extreme learning machines // Engineering Applications of Artificial Intelligence. 2019. Vol. 79. P. 13-22.
https://doi.org/10.1016/j.engappai.2018.12.005
22. Zelada-Ríos L., Pacheco-Barrios K., Galecio-Castillo M., Yamunaqué-Chunga C., Álvarez-Toledo K., Otiniano-Sifuentes R. Acute disseminated encephalomyelitis and COVID-19: A systematic synthesis of worldwide cases // Journal of Neuroimmunology. 2021. Vol. 359. 577674.
https://doi.org/10.1016/j.jneuroim.2021.577674
23. Miguel R.B., Talebi-Moghaddam S., Zamani M., Turcotte C., Daun K.J. Assessing flare combustion efficiency using imaging Fourier transform spectroscopy // Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. 2021. Vol. 273. 107835.
https://doi.org/10.1016/j.jqsrt.2021.107835
24. Calvetti D., Lewis B., Reichel L., Sgallari F. Tikhonov regularization with nonnegativity constraint // Electronic Transactions on Numerical Analysis. 2004. Vol. 18. No. 1. P. 153-173.
25. Lekhtmakher S., Shapiro M. On the paper “Inverse methods for analyzing aerosol spectrometer measurements: A critical review” // Journal of Aerosol Science. 2000. Vol. 31. No. 7. P. 867-873.
https://doi.org/10.1016/S0021-8502(99)00561-3
26. Samaras S., Nicolae D., Böckmann Ch., Vasilescu J., Binietoglou I., Labzovskii L., Toanca F., Papayannis A. Using Raman-lidar-based regularized microphysical retrievals and Aerosol Mass Spectrometer measurements for the characterization of biomass burning aerosols // Journal of Computational Physics. 2015. Vol. 299. P. 156-174.
https://doi.org/10.1016/j.jcp.2015.06.045
27. Чуев М.А. Эффективный метод анализа сверхтонкой структуры гамма резонансных спектров с использованием профиля Фойта // Доклады Академии наук. 2011. Т. 438. № 6. С. 747-751.
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=16525971
28. Pearson K. On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables in such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. Series 5. 1900. Vol. 50. No. 302. P. 157-175.
https://doi.org/10.1080/14786440009463897
29. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. М.: Мир, 1985.
30. Prakash J., Sanny D., Kalva S.K., Pramanik M., Yalavarthy P.K. Fractional regularization to improve photoacoustic tomographic image reconstruction // IEEE Transactions on Medical Imaging. 2019. Vol. 38. No. 8. P. 1935-1947.
https://doi.org/10.1109/TMI.2018.2889314
31. Reddy G.D. A class of parameter choice rules for stationary iterated weighted Tikhonov regularization scheme // Applied Mathematics and Computation. 2019. Vol. 347. P. 464-476.
https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.11.015
32. Mohammady S., Eslahchi M.R. Extension of Tikhonov regularization method using linear fractional programming // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2020. Vol. 371. 112677.
https://doi.org/10.1016/j.cam.2019.112677
33. Gao Y., Xiao L., Wu B. TSVD and Tikhonov methods and influence factor analysis for NMR data in shale rock // Journal of Petroleum Science and Engineering. 2020. Vol. 194. 107508.
https://doi.org/10.1016/j.petrol.2020.107508
34. Ким И.Г., Латыпова Н.В., Моторина О.Л. Численные методы: учеб.-метод. пособие. Ч. 2. Ижевск: Изд-во «Удмуртский университет», 2013.
35. Немцова О.М., Коныгин Г.Н. Повышение разрешающей способности метода регуляризации Тихонова при решении обратной задачи мёссбауэровской спектроскопии // Журнал прикладной спектроскопии. 2018. Т. 85. № 5. С. 830-835.
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=36962286
36. Немцова О.М., Коныгин Г.Н., Порсев В.Е. Разрешение перекрывающихся спектральных составляющих методом взвешенной регуляризации Тихонова // Журнал прикладной спектроскопии. 2021. Т. 88. № 2. С. 315-324.
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=44889288
37. Коныгин Г.Н., Немцова О.М., Порсев В.Е. Обработка мёссбауэровских спектров твердых растворов с применением функции Фойгта // Журнал прикладной спектроскопии. 2019. Т. 86. № 3. С. 374-381.
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=37522491
Поступила в редакцию
2021-10-02
Опубликована 2021-11-20
Опубликована 2021-11-20