Численный метод для системы дробных по пространству уравнений супердиффузионного типа с запаздыванием и граничными условиями Неймана
Ключевые слова:
супердиффузионные уравнения, условия Неймана, функциональное запаздывание, производные Рисса, аппроксимация Грюнвальда-Летникова, метод Кранка-Никольсон, порядок сходимости
Аннотация
Рассматривается система двух дробных по пространству уравнений супердиффузии с функциональным запаздыванием общего вида и краевыми условиями Неймана. Для этой задачи конструируется аналог метода Кранка-Никольсон, основанный на сдвинутых формулах Грюнвальда-Летникова для аппроксимации дробных производных Рисса по пространственной переменной и применении кусочно-линейной интерполяции дискретной предыстории с экстраполяцией продолжением для учета эффекта запаздывания. С помощью теоремы Гершгорина доказана разрешимость разностной схемы и ее устойчивость. Получен порядок сходимости метода. Представлены результаты численных экспериментов.
Литература
1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.
2. Kayan Ş., Merdan H., Yafia R., Goktepe S. Bifurcation analysis of a modified tumor-immune system interaction model involving time delay // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. 2017. Vol. 12. No. 5. P. 120-145.
https://doi.org/10.1051/mmnp/201712508
3. Pindza E., Owolabi K.M. Fourier spectral method for higher order space fractional reaction-diffusion equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2016. Vol. 40. P. 112-128.
https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2016.04.020
4. Owolabi K.M. High-dimensional spatial patterns in fractional reaction-diffusion systems arising in biology // Chaos, Solitons and Fractals. 2020. Vol. 134. 109723.
https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.109723
5. Tian W., Zhou H., Deng W. A class of second order difference approximations for solving space fractional diffusion equations // Mathematics of Computation. 2015. Vol. 84. No. 294. P. 1703-1727.
https://doi.org/10.1090/S0025-5718-2015-02917-2
6. Jin X.-Q., Lin F.-R., Zhao Z. Preconditioned iterative methods for two-dimensional space-fractional diffusion equations // Communications in Computational Physics. 2015. Vol. 18. No. 2. P. 469-488.
https://doi.org/10.4208/cicp.120314.230115a
7. Lin X.-L., Ng M.K., Sun H.-W. Stability and convergence analysis of finite difference schemes for time-dependent space-fractional diffusion equation with variable diffusion coefficients // Journal of Scientific Computing. 2018. Vol. 75. No. 2. P. 1102-1127.
https://doi.org/10.1007/s10915-017-0581-x
8. Lin X.-L., Ng M.K. A fast solver multidimensional time-space fractional diffusion equation with variable coefficients // Computers and Mathematics with Applications. 2019. Vol. 78. No. 5. P. 1477-1489.
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2019.04.012
9. Hendy A.S., Macías-Díaz J.E. A conservative scheme with optimal error estimates for a multidimensional space-fractional Gross-Pitaevskii equation // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. 2019. Vol. 29. No. 4. P. 713-723.
https://doi.org/10.2478/amcs-2019-0053
10. Yue X., Shu S., Xu X., Bu W., Pan K. Parallel-in-time multigrid for space-time finite element approximations of two-dimensional space-fractional diffusion equations // Computers and Mathematics with Applications. 2019. Vol. 78. No. 11. P. 3471-3484.
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2019.05.017
11. Du R., Alikhanov A.A., Sun Z.-Z. Temporal second order difference schemes for the multi-dimensional variable-order time fractional sub-diffusion equations // Computers and Mathematics with Applications. 2020. Vol. 79. No. 10. P. 2952-2972.
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2020.01.003
12. Zaky M.A., Machado J.T. Multi-dimensional spectral tau methods for distributed-order fractional diffusion equations // Computers and Mathematics with Applications. 2020. Vol. 79. No. 2. P. 476-488.
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2019.07.008
13. Zaky M.A., Hendy A.S., Alikhanov A.A., Pimenov V.G. Numerical analysis of multi-term time-fractional nonlinear subdiffusion equations with time delay: What could possibly go wrong? // Communication in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2021. Vol. 96. 105672.
https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2020.105672
14. Hendy A.S., Zaky M.A., De Staelen R.H. A general framework for the numerical analysis of high-order finite difference solvers for nonlinear multi-term time-space fractional partial differential equations with time delay // Applied Numerical Mathematics. 2021. Vol. 169. P. 108-121.
https://doi.org/10.1016/j.apnum.2021.06.010
15. Пименов В.Г. Разностные методы решения уравнений в частных производных с наследственностью. Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 2014.
16. Li C., Zeng F. Numerical methods for fractional calculus. Boca Raton: CRC Press, 2015.
17. Tadjeran C., Meerschaert M.M., Scheffler H.-P. A second-order accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation // Journal of Computational Physics. 2006. Vol. 213. No. 1. P. 205-213.
https://doi.org/10.1016/j.jcp.2005.08.008
18. Ким А.В., Пименов В.Г. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М.-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004.
19. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1978.
2. Kayan Ş., Merdan H., Yafia R., Goktepe S. Bifurcation analysis of a modified tumor-immune system interaction model involving time delay // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. 2017. Vol. 12. No. 5. P. 120-145.
https://doi.org/10.1051/mmnp/201712508
3. Pindza E., Owolabi K.M. Fourier spectral method for higher order space fractional reaction-diffusion equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2016. Vol. 40. P. 112-128.
https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2016.04.020
4. Owolabi K.M. High-dimensional spatial patterns in fractional reaction-diffusion systems arising in biology // Chaos, Solitons and Fractals. 2020. Vol. 134. 109723.
https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.109723
5. Tian W., Zhou H., Deng W. A class of second order difference approximations for solving space fractional diffusion equations // Mathematics of Computation. 2015. Vol. 84. No. 294. P. 1703-1727.
https://doi.org/10.1090/S0025-5718-2015-02917-2
6. Jin X.-Q., Lin F.-R., Zhao Z. Preconditioned iterative methods for two-dimensional space-fractional diffusion equations // Communications in Computational Physics. 2015. Vol. 18. No. 2. P. 469-488.
https://doi.org/10.4208/cicp.120314.230115a
7. Lin X.-L., Ng M.K., Sun H.-W. Stability and convergence analysis of finite difference schemes for time-dependent space-fractional diffusion equation with variable diffusion coefficients // Journal of Scientific Computing. 2018. Vol. 75. No. 2. P. 1102-1127.
https://doi.org/10.1007/s10915-017-0581-x
8. Lin X.-L., Ng M.K. A fast solver multidimensional time-space fractional diffusion equation with variable coefficients // Computers and Mathematics with Applications. 2019. Vol. 78. No. 5. P. 1477-1489.
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2019.04.012
9. Hendy A.S., Macías-Díaz J.E. A conservative scheme with optimal error estimates for a multidimensional space-fractional Gross-Pitaevskii equation // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. 2019. Vol. 29. No. 4. P. 713-723.
https://doi.org/10.2478/amcs-2019-0053
10. Yue X., Shu S., Xu X., Bu W., Pan K. Parallel-in-time multigrid for space-time finite element approximations of two-dimensional space-fractional diffusion equations // Computers and Mathematics with Applications. 2019. Vol. 78. No. 11. P. 3471-3484.
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2019.05.017
11. Du R., Alikhanov A.A., Sun Z.-Z. Temporal second order difference schemes for the multi-dimensional variable-order time fractional sub-diffusion equations // Computers and Mathematics with Applications. 2020. Vol. 79. No. 10. P. 2952-2972.
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2020.01.003
12. Zaky M.A., Machado J.T. Multi-dimensional spectral tau methods for distributed-order fractional diffusion equations // Computers and Mathematics with Applications. 2020. Vol. 79. No. 2. P. 476-488.
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2019.07.008
13. Zaky M.A., Hendy A.S., Alikhanov A.A., Pimenov V.G. Numerical analysis of multi-term time-fractional nonlinear subdiffusion equations with time delay: What could possibly go wrong? // Communication in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2021. Vol. 96. 105672.
https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2020.105672
14. Hendy A.S., Zaky M.A., De Staelen R.H. A general framework for the numerical analysis of high-order finite difference solvers for nonlinear multi-term time-space fractional partial differential equations with time delay // Applied Numerical Mathematics. 2021. Vol. 169. P. 108-121.
https://doi.org/10.1016/j.apnum.2021.06.010
15. Пименов В.Г. Разностные методы решения уравнений в частных производных с наследственностью. Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 2014.
16. Li C., Zeng F. Numerical methods for fractional calculus. Boca Raton: CRC Press, 2015.
17. Tadjeran C., Meerschaert M.M., Scheffler H.-P. A second-order accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation // Journal of Computational Physics. 2006. Vol. 213. No. 1. P. 205-213.
https://doi.org/10.1016/j.jcp.2005.08.008
18. Ким А.В., Пименов В.Г. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М.-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004.
19. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1978.
Поступила в редакцию
2022-02-19
Опубликована 2022-05-20
Опубликована 2022-05-20