Дифференциальные игры преследования-убегания при Gr-ограничениях на управления
Ключевые слова:
дифференциальная игра, неравенство Гронуолла, преследование, убегание, оптимальная стратегия, время поимки
Аннотация
В этой статье исследуется дифференциальная игра преследования-убегания, когда на управления игроков налагаются дифференциальные ограничения вида интегрального неравенства Гронуолла. Отметим, что стратегия параллельного преследования (короче, $\Pi$-стратегия) была введена и использована Л.А. Петросяном для решения задач простого преследования при фазовых ограничениях на состояния игроков для случая, когда функции управления обоих игроков выбираются из класса $L_\infty$. В настоящей работе для решения задачи простого преследования построена $\Pi$-стратегия, когда функции управления обоих игроков выбираются из различных классов с ограничениями типа Гронуолла и для этого случая найдены достаточные условия поимки и оптимальное время поимки. Для решения задачи убегания предлагается функция управления для убегающего и находятся достаточные условия убегания. Кроме того, построена область достижимости игроков и даны условия вложения ее по времени. Полученные результаты являются развитием и продолжением работ Р. Айзекса, Л.А. Петросяна, Б.Н. Пшеничного, А.А. Чикрия, А.А. Азамова и других исследователей, включая авторов этой работы.
Литература
1. Понтрягин Л.С. Избранные труды. Москва: МАКС Пресс, 2004.
2. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game-theoretical control problems. New York: Springer, 2011.
3. Isaacs R. Differential games. New York: John Wiley and Sons, 1965.
4. Petrosjan L.A. Differential games of pursuit. Singapore: World Scientific Publishing, 1993.
https://doi.org/10.1142/1670
5. Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами // Кибернетика. 1976. Т. 12. № 3. С. 145-146.
6. Пшеничный Б.Н., Чикрий А.А., Раппопорт И.С. Эффективный метод решения дифференциальных игр со многими преследователями // Докл. АН СССР. 1981. T. 256. № 3. С. 530-535.
http://mi.mathnet.ru/dan44191
7. Азамов А. О задаче качества для игр простого преследования с ограничением // Сердика. Българско математическо списание. 1986. Т. 12. № 1. С. 38-43.
8. Azamov A.A., Samatov B.T. The $\Pi$-strategy: analogies and applications // Contributions to Game Theory and Management. 2011. Vol. 4. 2011. P. 33-46.
http://mi.mathnet.ru/cgtm177
9. Петров Н.Н. Конфликтно управляемые процессы при взаимодействии групп управляемых объектов // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2005. Вып. 4 (34). С. 81-102.
http://mi.mathnet.ru/iimi101
10. Petrov N.N. Simple group pursuit subject to phase constraints and data delay // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2018. Vol. 57. No. 1. P. 37-42.
https://doi.org/10.1134/S1064230718010094
11. Петров Н.Н., Нарманов А.Я. Многократная поимка заданного числа убегающих в задаче простого преследования // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2018. T. 28. Вып. 2. С. 193-198.
https://doi.org/10.20537/vm180205
12. Благодатских А.И., Петров Н.Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов. Ижевск: Удмуртский университет, 2009.
13. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. Киев: Наук. думка, 1992.
14. Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.
15. Петросян Л.А. Об одном семействе дифференциальных игр на выживание в пространстве $\mathbb{R}^n$ // Докл. АН СССР. 1965. T. 161. № 1. С. 52-54.
http://mi.mathnet.ru/dan30817
16. Петросян Л.А. Игры преследования с «линией жизни» // Вестник Ленинградского университета. 1967. T. 3. № 13. С. 76-85.
17. Петросян Л.А., Дуткевич Ю.Г. Игры с «линией жизни». Случай $l$-захвата // Вестник Ленинградского университета. 1969. T. 19. №4. С. 31-42.
18. Петросян Л.А., Рихсиев Б.Б. Преследование на плоскости. М.: Наука, 1991.
19. Petrosyan L.A., Mazalov V.V. Game theory and applications. Vol. 1. New York: Nova Science Publishers, 1996.
http://hdl.handle.net/11701/1786
20. Саматов Б.Т. О задаче преследования-убегания при линейном изменении ресурса преследователя // Математические труды. 2012. Т. 15. № 2. С. 159-171.
http://mi.mathnet.ru/mt234
21. Саматов Б.Т. Задача преследования-убегания при интегрально-геометрических ограничениях на управления преследователя // Автоматика и телемеханика. 2013. Вып. 7. С. 17-28.
http://mi.mathnet.ru/at5465
22. Саматов Б.Т. О задачах группового преследования при интегральных ограничениях на управление игроков. І // Кибернетика и системный анализ. 2013. Т. 49. № 5. С. 132-145.
23. Саматов Б.Т. О задачах группового преследования при интегральных ограничениях на управление игроков. ІI // Кибернетика и системный анализ. 2013. Т. 49. № 6. С. 120-136.
24. Саматов Б.Т. $\Pi$-стратегия в дифференциальной игре с линейными ограничениями по управлению // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 78. № 3. С. 369-377.
https://elibrary.ru/item.asp?id=21727041
25. Дарьин А.Н., Куржанский А.Б. Управление в условиях неопределенности при двойных ограничениях // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. № 11. С. 1474-1486.
http://mi.mathnet.ru/de10938
26. Корнев Д.В., Лукоянов Н.Ю. К задаче управления на минимакс позиционного функционала при геометрических и интегральных ограничениях на управляющие воздействия // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21. № 2. С. 87-101.
http://mi.mathnet.ru/timm1173
27. Сатимов Н.Ю. Методы решения задачи преследования в теории дифференциальных игр. Ташкент: Изд-во НУУз, 2003.
28. Ibragimov G., Ferrara M., Ruziboev M., Pansera B.A. Linear evasion differential game of one evader and several pursuers with integral constraints // International Journal of Game Theory. 2021. Vol. 50. No. 3. P. 729-750.
https://doi.org/10.1007/s00182-021-00760-6
29. Ибрагимов Г.И. Задача об оптимальном преследовании, приводимая к бесконечной системе дифференциальных уравнений // Прикладная математика и механика. 2013. Т. 77. № 5. С. 657-666.
https://elibrary.ru/item.asp?id=20406054
30. Aubin J.-P., Cellina A. Differential inclusions. Set-valued maps and viability theory. Berlin-Heidelberg: Springer, 1984.
https://doi.org/10.1007/978-3-642-69512-4
31. Pang J.-Sh., Stewart D.E. Differential variational inequalities // Mathematical Programming. 2008. Vol. 113. No. 2. P. 345-424.
https://doi.org/10.1007/s10107-006-0052-x
32. Yuldashev T.K. Nonlinear optimal control of thermal processes in a nonlinear inverse problem // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020. Vol. 41. Issue 1. P. 124-136.
https://doi.org/10.1134/S1995080220010163
33. Vassilina G.K. Optimal control problem of stochastic systems // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2021. Vol. 42. Issue 3. P. 641-648.
https://doi.org/10.1134/S1995080221030215
34. Ushakov V.N., Ershov A.A., Ushakov A.V., Kuvshinov O.A. Control system depending on a parameter // Ural Mathematical Journal. 2021. Vol. 7. No. 1. P. 120-159.
https://doi.org/10.15826/umj.2021.1.011
35. Филиппова Т.Ф. Оценки множеств достижимости систем с импульсным управлением, неопределенностью и нелинейностью // Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика. 2017. Т. 19. С. 205-216.
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2017.19.205
36. Мунц Н.В., Кумков С.С. Численный метод решения дифференциальных игр быстродействия с линией жизни // Математическая теория игр и её приложения. Т. 10. Вып. 3. С. 48-75.
http://mi.mathnet.ru/mgta222
37. Мунц Н.В., Кумков С.С. О совпадении минимаксного решения и функции цены игры быстродействия с линией жизни // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24. № 2. С. 200-214.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-2-200-214
38. Банников А.С. Некоторые нестационарные задачи группового преследования // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2013. Вып. 1 (41). С. 3-46.
http://mi.mathnet.ru/iimi247
39. Банников А.С., Петров Н.Н. К нестационарной задаче группового преследования // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 1. С. 40-51.
40. Samatov B.T., Ibragimov G.I., Hodjibayeva I.V. Pursuit-evasion differential games with the Grönwall type constraints on controls // Ural Mathematical Journal. 2020. Vol. 6. No. 2. P. 95-107.
https://doi.org/10.15826/umj.2020.2.010
41. Grönwall T.H. Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations // Annals of Mathematics. Second Series. 1919. Vol. 20. No. 4. P. 292-296.
https://doi.org/10.2307/1967124
42. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление (линейная теория). М.: Высшая школа, 2001.
2. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game-theoretical control problems. New York: Springer, 2011.
3. Isaacs R. Differential games. New York: John Wiley and Sons, 1965.
4. Petrosjan L.A. Differential games of pursuit. Singapore: World Scientific Publishing, 1993.
https://doi.org/10.1142/1670
5. Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами // Кибернетика. 1976. Т. 12. № 3. С. 145-146.
6. Пшеничный Б.Н., Чикрий А.А., Раппопорт И.С. Эффективный метод решения дифференциальных игр со многими преследователями // Докл. АН СССР. 1981. T. 256. № 3. С. 530-535.
http://mi.mathnet.ru/dan44191
7. Азамов А. О задаче качества для игр простого преследования с ограничением // Сердика. Българско математическо списание. 1986. Т. 12. № 1. С. 38-43.
8. Azamov A.A., Samatov B.T. The $\Pi$-strategy: analogies and applications // Contributions to Game Theory and Management. 2011. Vol. 4. 2011. P. 33-46.
http://mi.mathnet.ru/cgtm177
9. Петров Н.Н. Конфликтно управляемые процессы при взаимодействии групп управляемых объектов // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2005. Вып. 4 (34). С. 81-102.
http://mi.mathnet.ru/iimi101
10. Petrov N.N. Simple group pursuit subject to phase constraints and data delay // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2018. Vol. 57. No. 1. P. 37-42.
https://doi.org/10.1134/S1064230718010094
11. Петров Н.Н., Нарманов А.Я. Многократная поимка заданного числа убегающих в задаче простого преследования // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2018. T. 28. Вып. 2. С. 193-198.
https://doi.org/10.20537/vm180205
12. Благодатских А.И., Петров Н.Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов. Ижевск: Удмуртский университет, 2009.
13. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. Киев: Наук. думка, 1992.
14. Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.
15. Петросян Л.А. Об одном семействе дифференциальных игр на выживание в пространстве $\mathbb{R}^n$ // Докл. АН СССР. 1965. T. 161. № 1. С. 52-54.
http://mi.mathnet.ru/dan30817
16. Петросян Л.А. Игры преследования с «линией жизни» // Вестник Ленинградского университета. 1967. T. 3. № 13. С. 76-85.
17. Петросян Л.А., Дуткевич Ю.Г. Игры с «линией жизни». Случай $l$-захвата // Вестник Ленинградского университета. 1969. T. 19. №4. С. 31-42.
18. Петросян Л.А., Рихсиев Б.Б. Преследование на плоскости. М.: Наука, 1991.
19. Petrosyan L.A., Mazalov V.V. Game theory and applications. Vol. 1. New York: Nova Science Publishers, 1996.
http://hdl.handle.net/11701/1786
20. Саматов Б.Т. О задаче преследования-убегания при линейном изменении ресурса преследователя // Математические труды. 2012. Т. 15. № 2. С. 159-171.
http://mi.mathnet.ru/mt234
21. Саматов Б.Т. Задача преследования-убегания при интегрально-геометрических ограничениях на управления преследователя // Автоматика и телемеханика. 2013. Вып. 7. С. 17-28.
http://mi.mathnet.ru/at5465
22. Саматов Б.Т. О задачах группового преследования при интегральных ограничениях на управление игроков. І // Кибернетика и системный анализ. 2013. Т. 49. № 5. С. 132-145.
23. Саматов Б.Т. О задачах группового преследования при интегральных ограничениях на управление игроков. ІI // Кибернетика и системный анализ. 2013. Т. 49. № 6. С. 120-136.
24. Саматов Б.Т. $\Pi$-стратегия в дифференциальной игре с линейными ограничениями по управлению // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 78. № 3. С. 369-377.
https://elibrary.ru/item.asp?id=21727041
25. Дарьин А.Н., Куржанский А.Б. Управление в условиях неопределенности при двойных ограничениях // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. № 11. С. 1474-1486.
http://mi.mathnet.ru/de10938
26. Корнев Д.В., Лукоянов Н.Ю. К задаче управления на минимакс позиционного функционала при геометрических и интегральных ограничениях на управляющие воздействия // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21. № 2. С. 87-101.
http://mi.mathnet.ru/timm1173
27. Сатимов Н.Ю. Методы решения задачи преследования в теории дифференциальных игр. Ташкент: Изд-во НУУз, 2003.
28. Ibragimov G., Ferrara M., Ruziboev M., Pansera B.A. Linear evasion differential game of one evader and several pursuers with integral constraints // International Journal of Game Theory. 2021. Vol. 50. No. 3. P. 729-750.
https://doi.org/10.1007/s00182-021-00760-6
29. Ибрагимов Г.И. Задача об оптимальном преследовании, приводимая к бесконечной системе дифференциальных уравнений // Прикладная математика и механика. 2013. Т. 77. № 5. С. 657-666.
https://elibrary.ru/item.asp?id=20406054
30. Aubin J.-P., Cellina A. Differential inclusions. Set-valued maps and viability theory. Berlin-Heidelberg: Springer, 1984.
https://doi.org/10.1007/978-3-642-69512-4
31. Pang J.-Sh., Stewart D.E. Differential variational inequalities // Mathematical Programming. 2008. Vol. 113. No. 2. P. 345-424.
https://doi.org/10.1007/s10107-006-0052-x
32. Yuldashev T.K. Nonlinear optimal control of thermal processes in a nonlinear inverse problem // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020. Vol. 41. Issue 1. P. 124-136.
https://doi.org/10.1134/S1995080220010163
33. Vassilina G.K. Optimal control problem of stochastic systems // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2021. Vol. 42. Issue 3. P. 641-648.
https://doi.org/10.1134/S1995080221030215
34. Ushakov V.N., Ershov A.A., Ushakov A.V., Kuvshinov O.A. Control system depending on a parameter // Ural Mathematical Journal. 2021. Vol. 7. No. 1. P. 120-159.
https://doi.org/10.15826/umj.2021.1.011
35. Филиппова Т.Ф. Оценки множеств достижимости систем с импульсным управлением, неопределенностью и нелинейностью // Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика. 2017. Т. 19. С. 205-216.
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2017.19.205
36. Мунц Н.В., Кумков С.С. Численный метод решения дифференциальных игр быстродействия с линией жизни // Математическая теория игр и её приложения. Т. 10. Вып. 3. С. 48-75.
http://mi.mathnet.ru/mgta222
37. Мунц Н.В., Кумков С.С. О совпадении минимаксного решения и функции цены игры быстродействия с линией жизни // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24. № 2. С. 200-214.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-2-200-214
38. Банников А.С. Некоторые нестационарные задачи группового преследования // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2013. Вып. 1 (41). С. 3-46.
http://mi.mathnet.ru/iimi247
39. Банников А.С., Петров Н.Н. К нестационарной задаче группового преследования // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 1. С. 40-51.
40. Samatov B.T., Ibragimov G.I., Hodjibayeva I.V. Pursuit-evasion differential games with the Grönwall type constraints on controls // Ural Mathematical Journal. 2020. Vol. 6. No. 2. P. 95-107.
https://doi.org/10.15826/umj.2020.2.010
41. Grönwall T.H. Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations // Annals of Mathematics. Second Series. 1919. Vol. 20. No. 4. P. 292-296.
https://doi.org/10.2307/1967124
42. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление (линейная теория). М.: Высшая школа, 2001.
Поступила в редакцию
2022-01-24
Опубликована 2022-05-20
Опубликована 2022-05-20