О регуляризации принципа Лагранжа в задачах оптимизации линейных распределенных систем вольтеррова типа с операторными ограничениями
Ключевые слова:
выпуклое оптимальное управление, распределенная система, функционально-операторное уравнение вольтеррова типа, операторное ограничение, некорректность, регуляризация, двойственность, минимизирующее приближенное решение, регуляризирующий оператор, принцип Лагранжа, принцип максимума Понтрягина
Аннотация
Рассматривается регуляризация классических условий оптимальности - принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина - в выпуклой задаче оптимального управления с операторным ограничением-равенством и функциональными ограничениями-неравенствами. Управляемая система задается линейным функционально-операторным уравнением II рода общего вида в пространстве $L^m_2$, основной оператор правой части уравнения предполагается квазинильпотентным. Целевой минимизируемый функционал задачи является сильно выпуклым. Получение регуляризованных условий оптимальности основано на использовании метода двойственной регуляризации. Основное предназначение регуляризованных принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина - устойчивое генерирование в рассматриваемой задаче обобщенных минимизирующих последовательностей - минимизирующих приближенных решений в смысле Дж. Варги. В качестве приложения результатов для задачи оптимального управления линейным функционально-операторным уравнением II рода общего вида рассматриваются два примера конкретных задач оптимального управления, связанных с системой уравнений с запаздыванием и с интегродифференциальным уравнением типа уравнения переноса.
Литература
1. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999.
2. Tröltzsch F. Optimal control of partial differential equations. AMS, 2010.
https://doi.org/10.1090/gsm/112
3. Dieye M., Diop M.A., Ezzinbi Kh. Necessary conditions of optimality for some stochastic integrodifferential equations of neutral type on Hilbert spaces // Applied Mathematics and Optimization. 2018. Vol. 77. P. 343-375.
https://doi.org/10.1007/s00245-016-9377-x
4. Breitenbach T., Borzi A. A sequential quadratic Hamiltonian method for solving parabolic optimal control problems with discontinuous cost functionals // Journal of Dynamical and Control Systems. 2019. Vol. 25. No. 3. P. 403-435.
https://doi.org/10.1007/s10883-018-9419-6
5. Breitenbach T., Borzi A. On the SQH scheme to solve nonsmooth PDE optimal control problems // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2019. Vol. 40. Issue 13. P. 1489-1531.
https://doi.org/10.1080/01630563.2019.1599911
6. Casas E., Mateos M., Rösch A. Error estimates for semilinear parabolic control problems in the absence of Tikhonov term // SIAM Journal on Control and Optimization. 2019. Vol. 57. Issue 4. P. 2515-2540.
https://doi.org/10.1137/18M117220X
7. Aronna M.S., Bonnans J.F., Kröner A. Optimal control of PDEs in a complex space setting: application to the Schrödinger equation // SIAM Journal on Control and Optimization. 2019. Vol. 57. Issue 2. P. 1390-1412.
https://doi.org/10.1137/17M1117653
8. Betz L.M. Second-order sufficient optimality conditions for optimal control of nonsmooth, semilinear parabolic equations // SIAM Journal on Control and Optimization. 2019. Vol. 57. Issue 6. P. 4033-4062.
https://doi.org/10.1137/19M1239106
9. Casas E., Tröltzsch F. On optimal control problems with controls appearing nonlinearly in an elliptic state equation // SIAM Journal on Control and Optimization. 2020. Vol. 58. Issue 4. P. 1961-1983.
https://doi.org/10.1137/19M1293442
10. Lin P., Yong J. Controlled singular Volterra integral equations and Pontryagin maximum principle // SIAM Journal on Control and Optimization. 2020. Vol. 58. Issue 1. P. 136-164.
https://doi.org/10.1137/19M124602X
11. Zhang X., Li H., Liu Ch. Optimal control problem for the Cahn-Hilliard/Allen-Cahn equation with state constraint // Applied Mathematics and Optimization. 2020. Vol. 82. Issue 2. P. 721-754.
https://doi.org/10.1007/s00245-018-9546-1
12. Casas E., Kunisch K. Optimal control of the two-dimensional evolutionary Navier-Stokes equations with measure valued controls // SIAM Journal on Control and Optimization. 2021. Vol. 59. Issue 3. P. 2223-2246.
https://doi.org/10.1137/20M1351400
13. Сумин М.И. Регуляризация в линейно выпуклой задаче математического программирования на основе теории двойственности // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. Т. 47. № 4. С. 602-625.
https://elibrary.ru/item.asp?id=9535238
14. Сумин М.И. Регуляризованная параметрическая теорема Куна-Таккера в гильбертовом пространстве // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. Т. 51. № 9. С. 1594-1615.
https://elibrary.ru/item.asp?id=16766246
15. Сумин М.И. Регуляризованные принцип Лагранжа и принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении и обратных задачах // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25. № 1. C. 279-296.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2019-25-1-279-296
16. Сумин В.И., Сумин М.И. Регуляризованные классические условия оптимальности в итерационной форме для выпуклых задач оптимизации распределенных систем вольтеррова типа // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2021. Т. 31. Вып. 2. С. 265-284.
https://doi.org/10.35634/vm210208
17. Сумин В.И., Сумин М.И. Регуляризация классических условий оптимальности в задачах оптимального управления линейными распределенными системами вольтеррова типа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2022. Т. 62. № 1. С. 45-70.
https://doi.org/10.31857/S0044466921110144
18. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.
19. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.
20. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: МЦНМО, 2011.
21. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.
22. Сумин М.И. О регуляризации классических условий оптимальности в выпуклых задачах оптимального управления // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26. № 2. C. 252-269.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2020-26-2-252-269
23. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.
24. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Нижний Новгород: ННГУ, 1992.
25. Сумин В.И., Чернов А.В. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость и квазинильпотентность // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. № 10. С. 1402-1411.
http://mi.mathnet.ru/de9796
26. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. М.: Наука, 1967.
27. Сумин В.И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // Доклады Академии наук СССР. 1989. Т. 305. № 5. C. 1056-1059.
http://mi.mathnet.ru/dan7167
28. Сумин В.И. Управляемые вольтерровы функциональные уравнения и принцип сжимающих отображений // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25. № 1. C. 262-278.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2019-25-1-262-278
29. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.
30. Дмитрук А.В. Выпуклый анализ. Элементарный вводный курс. М.: МАКС Пресс, 2012.
31. Jörgens K. An asymptotic expansion in the theory of neutron transport // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1958. Vol. 11. Issue 2. P. 219-242.
https://doi.org/10.1002/cpa.3160110206
2. Tröltzsch F. Optimal control of partial differential equations. AMS, 2010.
https://doi.org/10.1090/gsm/112
3. Dieye M., Diop M.A., Ezzinbi Kh. Necessary conditions of optimality for some stochastic integrodifferential equations of neutral type on Hilbert spaces // Applied Mathematics and Optimization. 2018. Vol. 77. P. 343-375.
https://doi.org/10.1007/s00245-016-9377-x
4. Breitenbach T., Borzi A. A sequential quadratic Hamiltonian method for solving parabolic optimal control problems with discontinuous cost functionals // Journal of Dynamical and Control Systems. 2019. Vol. 25. No. 3. P. 403-435.
https://doi.org/10.1007/s10883-018-9419-6
5. Breitenbach T., Borzi A. On the SQH scheme to solve nonsmooth PDE optimal control problems // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2019. Vol. 40. Issue 13. P. 1489-1531.
https://doi.org/10.1080/01630563.2019.1599911
6. Casas E., Mateos M., Rösch A. Error estimates for semilinear parabolic control problems in the absence of Tikhonov term // SIAM Journal on Control and Optimization. 2019. Vol. 57. Issue 4. P. 2515-2540.
https://doi.org/10.1137/18M117220X
7. Aronna M.S., Bonnans J.F., Kröner A. Optimal control of PDEs in a complex space setting: application to the Schrödinger equation // SIAM Journal on Control and Optimization. 2019. Vol. 57. Issue 2. P. 1390-1412.
https://doi.org/10.1137/17M1117653
8. Betz L.M. Second-order sufficient optimality conditions for optimal control of nonsmooth, semilinear parabolic equations // SIAM Journal on Control and Optimization. 2019. Vol. 57. Issue 6. P. 4033-4062.
https://doi.org/10.1137/19M1239106
9. Casas E., Tröltzsch F. On optimal control problems with controls appearing nonlinearly in an elliptic state equation // SIAM Journal on Control and Optimization. 2020. Vol. 58. Issue 4. P. 1961-1983.
https://doi.org/10.1137/19M1293442
10. Lin P., Yong J. Controlled singular Volterra integral equations and Pontryagin maximum principle // SIAM Journal on Control and Optimization. 2020. Vol. 58. Issue 1. P. 136-164.
https://doi.org/10.1137/19M124602X
11. Zhang X., Li H., Liu Ch. Optimal control problem for the Cahn-Hilliard/Allen-Cahn equation with state constraint // Applied Mathematics and Optimization. 2020. Vol. 82. Issue 2. P. 721-754.
https://doi.org/10.1007/s00245-018-9546-1
12. Casas E., Kunisch K. Optimal control of the two-dimensional evolutionary Navier-Stokes equations with measure valued controls // SIAM Journal on Control and Optimization. 2021. Vol. 59. Issue 3. P. 2223-2246.
https://doi.org/10.1137/20M1351400
13. Сумин М.И. Регуляризация в линейно выпуклой задаче математического программирования на основе теории двойственности // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. Т. 47. № 4. С. 602-625.
https://elibrary.ru/item.asp?id=9535238
14. Сумин М.И. Регуляризованная параметрическая теорема Куна-Таккера в гильбертовом пространстве // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. Т. 51. № 9. С. 1594-1615.
https://elibrary.ru/item.asp?id=16766246
15. Сумин М.И. Регуляризованные принцип Лагранжа и принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении и обратных задачах // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25. № 1. C. 279-296.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2019-25-1-279-296
16. Сумин В.И., Сумин М.И. Регуляризованные классические условия оптимальности в итерационной форме для выпуклых задач оптимизации распределенных систем вольтеррова типа // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2021. Т. 31. Вып. 2. С. 265-284.
https://doi.org/10.35634/vm210208
17. Сумин В.И., Сумин М.И. Регуляризация классических условий оптимальности в задачах оптимального управления линейными распределенными системами вольтеррова типа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2022. Т. 62. № 1. С. 45-70.
https://doi.org/10.31857/S0044466921110144
18. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.
19. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.
20. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: МЦНМО, 2011.
21. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.
22. Сумин М.И. О регуляризации классических условий оптимальности в выпуклых задачах оптимального управления // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26. № 2. C. 252-269.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2020-26-2-252-269
23. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.
24. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Нижний Новгород: ННГУ, 1992.
25. Сумин В.И., Чернов А.В. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость и квазинильпотентность // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. № 10. С. 1402-1411.
http://mi.mathnet.ru/de9796
26. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. М.: Наука, 1967.
27. Сумин В.И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // Доклады Академии наук СССР. 1989. Т. 305. № 5. C. 1056-1059.
http://mi.mathnet.ru/dan7167
28. Сумин В.И. Управляемые вольтерровы функциональные уравнения и принцип сжимающих отображений // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25. № 1. C. 262-278.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2019-25-1-262-278
29. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.
30. Дмитрук А.В. Выпуклый анализ. Элементарный вводный курс. М.: МАКС Пресс, 2012.
31. Jörgens K. An asymptotic expansion in the theory of neutron transport // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1958. Vol. 11. Issue 2. P. 219-242.
https://doi.org/10.1002/cpa.3160110206
Поступила в редакцию
2021-12-24
Опубликована 2022-05-20
Опубликована 2022-05-20