О гибкости системы ограничений при аппроксимации задач оптимального управления
Ключевые слова:
сосредоточенные задачи оптимального управления с функциональными ограничениями типа равенства, параметрическая аппроксимация управления, жесткость и гибкость системы ограничений, функции Гаусса, квадратичные экспоненты
Аннотация
Для конечномерных задач математического программирования (аппроксимирующих задач), получаемых путем параметрической аппроксимации управляющих функций в сосредоточенных задачах оптимального управления с функциональными ограничениями типа равенства, вводятся понятия жесткости и гибкости системы ограничений. Жесткость в данной допустимой точке понимается в том смысле, что эта точка является изолированной точкой допустимого множества; в противном случае называем систему ограничений гибкой в данной точке. При использовании параметрической аппроксимации управления с помощью функций Гаусса и при выполнении некоторых естественных предположений устанавливается, что для обеспечения гибкости системы ограничений в данной допустимой точке достаточно увеличения размерности пространства параметров аппроксимирующей задачи. Проверка сделанных предположений иллюстрируется на примере задачи о мягкой посадке на Луну.
Литература
1. Conway B.A. A survey of methods available for the numerical optimization of continuous dynamic systems // Journal of Optimization Theory and Applications. 2012. Vol. 152. Issue 2. P. 271-306.
https://doi.org/10.1007/s10957-011-9918-z
2. Teo K.L., Li B., Yu Ch., Rehbock V. Applied and computational optimal control. Cham: Springer, 2021.
https://doi.org/10.1007/978-3-030-69913-0
3. Li B., Guo X., Zeng X., Dian S., Guo M. An optimal PID tuning method for a single-link manipulator based on the control parametrization technique // Discrete and Continuous Dynamical Systems - S. 2020. Vol. 13. No. 6. P. 1813-1823.
https://doi.org/10.3934/dcdss.2020107
4. Farooqi H., Fagiano L., Colaneri P., Barlini D. Shrinking horizon parametrized predictive control with application to energy-efficient train operation // Automatica. 2020. Vol. 112. P. 108635.
https://doi.org/10.1016/j.automatica.2019.108635
5. Zhong W., Lin Q., Loxton R., Teo K.L. Optimal train control via switched system dynamic optimization // Optimization Methods and Software. 2021. Vol. 36. Issue 2-3. P. 602-626.
https://doi.org/10.1080/10556788.2019.1604704
6. Liu P., Liu X., Wang P., Li G., Xiao L., Yan J., Ren Zh. Control variable parameterisation with penalty approach for hypersonic vehicle reentry optimisation // International Journal of Control. 2019. Vol. 92. Issue 9. P. 2015-2024.
https://doi.org/10.1080/00207179.2018.1426882
7. Wu D., Bai Y., Yu Ch. A new computational approach for optimal control problems with multiple time-delay // Automatica. 2019. Vol. 101. P. 388-395.
https://doi.org/10.1016/j.automatica.2018.12.036
8. Mu P., Wang L., Liu Ch. A control parameterization method to solve the fractional-order optimal control problem // Journal of Optimization Theory and Applications. 2020. Vol. 187. Issue 1. P. 234-247.
https://doi.org/10.1007/s10957-017-1163-7
9. Liu Ch., Gong Zh., Yu Ch., Wang S., Teo K.L. Optimal control computation for nonlinear fractional time-delay systems with state inequality constraints // Journal of Optimization Theory and Applications. 2021. Vol. 191. Issue 1. P. 83-117.
https://doi.org/10.1007/s10957-021-01926-8
10. Aliev F.A., Larin V.B. A historical perspective on the parametrization of all stabilizing feedback controllers // Applied and Computational Mathematics. 2019. Vol. 18. No. 3. P. 326-328.
https://zbmath.org/?q=1433.49001
11. Zhang Y., Zhang J.-F., Liu X.-K. Implicit function based adaptive control of non-canonical form discrete-time nonlinear systems // Automatica. 2021. Vol. 129. P. 109629.
https://doi.org/10.1016/j.automatica.2021.109629
12. Волин Ю.М., Островский Г.М. О методе последовательных приближений расчета оптимальных режимов некоторых систем с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1965. Т. 26. Вып. 7. С. 1197-1204.
http://mi.mathnet.ru/at11406
13. Teo K.L., Goh C.J., Wong K.H. A unified computational approach to optimal control problems. New York: John Wiley and Sons, 1991.
https://zbmath.org/?q=an:0747.49005
14. Teo K.L., Jennings L.S., Lee H.W.J., Rehbock V. The control parameterization enhancing transform for constrained optimal control problems // The Journal of the Australian Mathematical Society. Series B. Applied Mathematics. 1999. Vol. 40. Issue 3. P. 314-335.
https://doi.org/10.1017/S0334270000010936
15. Li R., Teo K.L., Wong K.H., Duan G.R. Control parameterization enhancing transform for optimal control of switched systems // Mathematical and Computer Modelling. 2006. Vol. 43. Issue 11-12. P. 1393-1403.
https://doi.org/10.1016/j.mcm.2005.08.012
16. Чернов А.В. О применении квадратичных экспонент для дискретизации задач оптимального управления // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 4. С. 558-575.
https://doi.org/10.20537/vm170406
17. Чернов А.В. О применении функций Гаусса для численного решения задач оптимального управления // Автоматика и телемеханика. 2019. № 6. С. 51-69.
https://doi.org/10.1134/S0005231019060035
18. Чернов А.В. О дифференцировании функционалов аппроксимирующих задач в рамках метода подвижных узлов при решении задач оптимального управления со свободным временем // Вестник Тамбовского Университета. Серия: Естественные и технические науки. 2018. Т. 23. № 124. С. 861-876.
https://doi.org/10.20310/1810-0198-2018-23-124-861-876
19. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 2003.
20. Maz'ya V., Schmidt G. Approximate approximations. Providence: AMS, 2007.
21. Luh L.-T. The shape parameter in the Gaussian function // Computers and Mathematics with Applications. 2012. Vol. 63. Issue 3. P. 687-694.
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2011.11.032
22. Чернов А.В. Об использовании квадратичных экспонент с варьируемыми параметрами для аппроксимации функций одного переменного на конечном отрезке // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 2. С. 267-282.
https://doi.org/10.20537/vm170210
23. Buhmann M.D. Radial basis functions: theory and implementations. Cambridge: Cambridge University Press, 2003.
https://doi.org/10.1017/CBO9780511543241
24. Laforgia A., Natalini P. Exponential, gamma and polygamma functions: simple proofs of classical and new inequalities // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2013. Vol. 407. Issue 2. P. 495-504.
https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2013.05.045
25. Чернов А.В. О приближенном решении задач оптимального управления со свободным временем // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2012. № 6 (1). С. 107-114.
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=18294335
26. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Физматлит, 2008.
https://doi.org/10.1007/s10957-011-9918-z
2. Teo K.L., Li B., Yu Ch., Rehbock V. Applied and computational optimal control. Cham: Springer, 2021.
https://doi.org/10.1007/978-3-030-69913-0
3. Li B., Guo X., Zeng X., Dian S., Guo M. An optimal PID tuning method for a single-link manipulator based on the control parametrization technique // Discrete and Continuous Dynamical Systems - S. 2020. Vol. 13. No. 6. P. 1813-1823.
https://doi.org/10.3934/dcdss.2020107
4. Farooqi H., Fagiano L., Colaneri P., Barlini D. Shrinking horizon parametrized predictive control with application to energy-efficient train operation // Automatica. 2020. Vol. 112. P. 108635.
https://doi.org/10.1016/j.automatica.2019.108635
5. Zhong W., Lin Q., Loxton R., Teo K.L. Optimal train control via switched system dynamic optimization // Optimization Methods and Software. 2021. Vol. 36. Issue 2-3. P. 602-626.
https://doi.org/10.1080/10556788.2019.1604704
6. Liu P., Liu X., Wang P., Li G., Xiao L., Yan J., Ren Zh. Control variable parameterisation with penalty approach for hypersonic vehicle reentry optimisation // International Journal of Control. 2019. Vol. 92. Issue 9. P. 2015-2024.
https://doi.org/10.1080/00207179.2018.1426882
7. Wu D., Bai Y., Yu Ch. A new computational approach for optimal control problems with multiple time-delay // Automatica. 2019. Vol. 101. P. 388-395.
https://doi.org/10.1016/j.automatica.2018.12.036
8. Mu P., Wang L., Liu Ch. A control parameterization method to solve the fractional-order optimal control problem // Journal of Optimization Theory and Applications. 2020. Vol. 187. Issue 1. P. 234-247.
https://doi.org/10.1007/s10957-017-1163-7
9. Liu Ch., Gong Zh., Yu Ch., Wang S., Teo K.L. Optimal control computation for nonlinear fractional time-delay systems with state inequality constraints // Journal of Optimization Theory and Applications. 2021. Vol. 191. Issue 1. P. 83-117.
https://doi.org/10.1007/s10957-021-01926-8
10. Aliev F.A., Larin V.B. A historical perspective on the parametrization of all stabilizing feedback controllers // Applied and Computational Mathematics. 2019. Vol. 18. No. 3. P. 326-328.
https://zbmath.org/?q=1433.49001
11. Zhang Y., Zhang J.-F., Liu X.-K. Implicit function based adaptive control of non-canonical form discrete-time nonlinear systems // Automatica. 2021. Vol. 129. P. 109629.
https://doi.org/10.1016/j.automatica.2021.109629
12. Волин Ю.М., Островский Г.М. О методе последовательных приближений расчета оптимальных режимов некоторых систем с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1965. Т. 26. Вып. 7. С. 1197-1204.
http://mi.mathnet.ru/at11406
13. Teo K.L., Goh C.J., Wong K.H. A unified computational approach to optimal control problems. New York: John Wiley and Sons, 1991.
https://zbmath.org/?q=an:0747.49005
14. Teo K.L., Jennings L.S., Lee H.W.J., Rehbock V. The control parameterization enhancing transform for constrained optimal control problems // The Journal of the Australian Mathematical Society. Series B. Applied Mathematics. 1999. Vol. 40. Issue 3. P. 314-335.
https://doi.org/10.1017/S0334270000010936
15. Li R., Teo K.L., Wong K.H., Duan G.R. Control parameterization enhancing transform for optimal control of switched systems // Mathematical and Computer Modelling. 2006. Vol. 43. Issue 11-12. P. 1393-1403.
https://doi.org/10.1016/j.mcm.2005.08.012
16. Чернов А.В. О применении квадратичных экспонент для дискретизации задач оптимального управления // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 4. С. 558-575.
https://doi.org/10.20537/vm170406
17. Чернов А.В. О применении функций Гаусса для численного решения задач оптимального управления // Автоматика и телемеханика. 2019. № 6. С. 51-69.
https://doi.org/10.1134/S0005231019060035
18. Чернов А.В. О дифференцировании функционалов аппроксимирующих задач в рамках метода подвижных узлов при решении задач оптимального управления со свободным временем // Вестник Тамбовского Университета. Серия: Естественные и технические науки. 2018. Т. 23. № 124. С. 861-876.
https://doi.org/10.20310/1810-0198-2018-23-124-861-876
19. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 2003.
20. Maz'ya V., Schmidt G. Approximate approximations. Providence: AMS, 2007.
21. Luh L.-T. The shape parameter in the Gaussian function // Computers and Mathematics with Applications. 2012. Vol. 63. Issue 3. P. 687-694.
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2011.11.032
22. Чернов А.В. Об использовании квадратичных экспонент с варьируемыми параметрами для аппроксимации функций одного переменного на конечном отрезке // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 2. С. 267-282.
https://doi.org/10.20537/vm170210
23. Buhmann M.D. Radial basis functions: theory and implementations. Cambridge: Cambridge University Press, 2003.
https://doi.org/10.1017/CBO9780511543241
24. Laforgia A., Natalini P. Exponential, gamma and polygamma functions: simple proofs of classical and new inequalities // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2013. Vol. 407. Issue 2. P. 495-504.
https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2013.05.045
25. Чернов А.В. О приближенном решении задач оптимального управления со свободным временем // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2012. № 6 (1). С. 107-114.
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=18294335
26. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Физматлит, 2008.
Поступила в редакцию
2021-11-23
Опубликована 2022-05-20
Опубликована 2022-05-20