Приближенное вычисление множеств достижимости линейных управляемых систем при разнотипных ограничениях на управление
Ключевые слова:
управляемая система, множество достижимости, двойные ограничения, интегральные ограничения, геометрические ограничения, дискретная аппроксимация, метрика Хаусдорфа
Аннотация
В работе рассматривается задача приближенного построения множеств достижимости линейной управляемой системы, когда управляющее воздействие стеснено одновременно геометрическим и несколькими интегральными ограничениями. Предлагается вариант перехода от непрерывной к дискретной системе путем равномерного разбиения временного отрезка и замене управлений на шаге разбиения их средними значениями. Доказана сходимость множества достижимости аппроксимирующей системы к множеству достижимости исходной системы в хаусдорфовой метрике при стремлении шага дискретизации к нулю, получена оценка скорости сходимости. Предложен алгоритм построения границы множеств достижимости, основанный на решении семейства задач конического программирования. Проведено численное моделирование.
Литература
1. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. М.: Высшая школа, 2001.
2. Дарьин А.Н., Куржанский А.Б. Нелинейный синтез управлений при двойных ограничениях // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. № 11. С. 1476-1484. http://mi.mathnet.ru/de10483
3. Зыков И.В. О внешних оценках множеств достижимости управляемых систем с интегральными ограничениями // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2019. Т. 53. С. 61-72. https://doi.org/10.20537/2226-3594-2019-53-06
4. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.
5. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Физматлит, 1977.
6. Лотов А.В. Численный метод построения множеств достижимости для линейной управляемой системы // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1972. Т. 12. № 3. С. 785-788. http://mi.mathnet.ru/zvmmf6715
7. Максимов В.П. О внутренних оценках множеств достижимости для непрерывно-дискретных систем с дискретной памятью // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27. № 3. С. 141-151. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2021-27-3-141-151
8. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988.
9. Никольский М.С. Линейные управляемые объекты с фазовыми ограничениями. Приближенное вычисление множеств достижимости // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27. № 2. С. 162-168. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2021-27-2-162-168
10. Пацко В.С., Федотов А.А. Аналитическое описание множества достижимости для машины Дубинса // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26. № 1. С. 182-197. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2020-26-1-182-197
11. Сиротин А.Н., Формальский А.М. Достижимость и управляемость дискретных систем при ограниченных по величине и импульсу управляющих воздействиях // Автоматика и телемеханика. 2003. Вып. 12. С. 17-32. http://mi.mathnet.ru/at1984
12. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.
13. Andersen E.D., Roos C., Terlaky T. On implementing a primal-dual interior-point method for conic quadratic optimization // Mathematical Programming. Ser. B. 2003. Vol. 95. Issue 2. P. 249-277. https://doi.org/10.1007/s10107-002-0349-3
14. Baier R., Gerdts M., Xausa I. Approximation of reachable sets using optimal control algorithms // Numerical Algebra, Control and Optimization. 2013. Vol. 3. No. 3. P. 519-548. https://doi.org/10.3934/naco.2013.3.519
15. Goberna M.A., López M.A. A comprehensive survey of linear semi-infinite optimization theory. Boston: Springer, 1998. P. 3-27. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2868-2_1
16. Gusev M.I., Osipov I.O. On convexity of small-time reachable sets of nonlinear control systems // AIP Conference Proceedings. 2019. Vol. 2164. Issue 1. 060007. https://doi.org/10.1063/1.5130809
17. Gusev M.I., Zykov I.V. An algorithm for computing reachable sets of control systems under isoperimetric constraints // AIP Conference Proceedings. 2018. Vol. 2025. Issue 1. 100003. https://doi.org/10.1063/1.5064932
18. Huseyin N., Guseinov Kh.G., Ushakov V.N. Approximate construction of the set of trajectories of the control system described by a Volterra integral equation // Mathematische Nachrichten. 2015. Vol. 288. Issue 16. P. 1891-1899. https://doi.org/10.1002/mana.201300191
19. Huseyin N., Huseyin A.Compactness of the set of trajectories of the controllable system described by an affine integral equation // Applied Mathematics and Computation. 2013. Vol. 219. Issue 16. P. 8416-8424. https://doi.org/10.1016/j.amc.2013.03.005
20. Kostousova E.K. State estimates of bilinear discrete-time systems with integral constraints through polyhedral techniques // IFAC-PapersOnLine. 2018. Vol. 51. Issue 32. P. 245-250. https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2018.11.389
21. Kurzhanski A.B., Varaiya P. Dynamics and control of trajectory tubes. Theory and computation. Cham: Birkhäuser, 2014. https://doi.org/10.1007/978-3-319-10277-1
22. Rasmussen M., Rieger J., Webster K.N. Approximation of reachable sets using optimal control and support vector machines // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2017. Vol. 311. P. 68-83. https://doi.org/10.1016/j.cam.2016.06.015
23. Rousse P., dit Sandretto J.A., Chapoutot A., Garoche P.-L. Guaranteed simulation of dynamical systems with integral constraints and application on delayed dynamical systems // Cyber physical systems. Model-based design. Cham: Springer, 2020. P. 89-107. https://doi.org/10.1007/978-3-030-41131-2_5
2. Дарьин А.Н., Куржанский А.Б. Нелинейный синтез управлений при двойных ограничениях // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. № 11. С. 1476-1484. http://mi.mathnet.ru/de10483
3. Зыков И.В. О внешних оценках множеств достижимости управляемых систем с интегральными ограничениями // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2019. Т. 53. С. 61-72. https://doi.org/10.20537/2226-3594-2019-53-06
4. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.
5. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Физматлит, 1977.
6. Лотов А.В. Численный метод построения множеств достижимости для линейной управляемой системы // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1972. Т. 12. № 3. С. 785-788. http://mi.mathnet.ru/zvmmf6715
7. Максимов В.П. О внутренних оценках множеств достижимости для непрерывно-дискретных систем с дискретной памятью // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27. № 3. С. 141-151. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2021-27-3-141-151
8. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988.
9. Никольский М.С. Линейные управляемые объекты с фазовыми ограничениями. Приближенное вычисление множеств достижимости // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27. № 2. С. 162-168. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2021-27-2-162-168
10. Пацко В.С., Федотов А.А. Аналитическое описание множества достижимости для машины Дубинса // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26. № 1. С. 182-197. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2020-26-1-182-197
11. Сиротин А.Н., Формальский А.М. Достижимость и управляемость дискретных систем при ограниченных по величине и импульсу управляющих воздействиях // Автоматика и телемеханика. 2003. Вып. 12. С. 17-32. http://mi.mathnet.ru/at1984
12. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.
13. Andersen E.D., Roos C., Terlaky T. On implementing a primal-dual interior-point method for conic quadratic optimization // Mathematical Programming. Ser. B. 2003. Vol. 95. Issue 2. P. 249-277. https://doi.org/10.1007/s10107-002-0349-3
14. Baier R., Gerdts M., Xausa I. Approximation of reachable sets using optimal control algorithms // Numerical Algebra, Control and Optimization. 2013. Vol. 3. No. 3. P. 519-548. https://doi.org/10.3934/naco.2013.3.519
15. Goberna M.A., López M.A. A comprehensive survey of linear semi-infinite optimization theory. Boston: Springer, 1998. P. 3-27. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2868-2_1
16. Gusev M.I., Osipov I.O. On convexity of small-time reachable sets of nonlinear control systems // AIP Conference Proceedings. 2019. Vol. 2164. Issue 1. 060007. https://doi.org/10.1063/1.5130809
17. Gusev M.I., Zykov I.V. An algorithm for computing reachable sets of control systems under isoperimetric constraints // AIP Conference Proceedings. 2018. Vol. 2025. Issue 1. 100003. https://doi.org/10.1063/1.5064932
18. Huseyin N., Guseinov Kh.G., Ushakov V.N. Approximate construction of the set of trajectories of the control system described by a Volterra integral equation // Mathematische Nachrichten. 2015. Vol. 288. Issue 16. P. 1891-1899. https://doi.org/10.1002/mana.201300191
19. Huseyin N., Huseyin A.Compactness of the set of trajectories of the controllable system described by an affine integral equation // Applied Mathematics and Computation. 2013. Vol. 219. Issue 16. P. 8416-8424. https://doi.org/10.1016/j.amc.2013.03.005
20. Kostousova E.K. State estimates of bilinear discrete-time systems with integral constraints through polyhedral techniques // IFAC-PapersOnLine. 2018. Vol. 51. Issue 32. P. 245-250. https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2018.11.389
21. Kurzhanski A.B., Varaiya P. Dynamics and control of trajectory tubes. Theory and computation. Cham: Birkhäuser, 2014. https://doi.org/10.1007/978-3-319-10277-1
22. Rasmussen M., Rieger J., Webster K.N. Approximation of reachable sets using optimal control and support vector machines // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2017. Vol. 311. P. 68-83. https://doi.org/10.1016/j.cam.2016.06.015
23. Rousse P., dit Sandretto J.A., Chapoutot A., Garoche P.-L. Guaranteed simulation of dynamical systems with integral constraints and application on delayed dynamical systems // Cyber physical systems. Model-based design. Cham: Springer, 2020. P. 89-107. https://doi.org/10.1007/978-3-030-41131-2_5
Поступила в редакцию
2022-02-13
Опубликована 2022-11-20
Опубликована 2022-11-20