О явном выражении решения регуляризирующей по Тихонову задачи оптимизации через параметр регуляризации в конечномерном случае
Ключевые слова:
метод регуляризации Тихонова, метод обобщенной невязки, однопараметрическая система линейных алгебраических уравнений, метод разложения
Аннотация
Как известно, при использовании метода регуляризации Тихонова для решения операторных уравнений I рода приходится минимизировать регуляризованный функционал невязки. Точка минимума определяется из так называемого уравнения Эйлера, которое в конечномерном случае, а также при его дискретизации, записывается как зависящая от параметра регуляризации система линейных алгебраических уравнений специального вида. При этом существуют различные способы выбора параметра регуляризации. В частности, в рамках принципа обобщенной невязки приходится решать соответствующее уравнение обобщенной невязки относительно параметра. А это (при его численном решении) предполагает, в свою очередь, многократное решение параметризованной системы линейных алгебраических уравнений. В данной статье получена явная простая и эффективная формула решения однопараметрической системы для произвольного значения параметра. Приводятся пример вычислений по указанной формуле, а также пример численного решения интегрального уравнения Фредгольма I рода при использовании этой формулы, подтверждающий ее эффективность.
Литература
1. Levin E., Meltzer A.Y. Estimation of the regularization parameter in linear discrete ill-posed problems using the Picard parameter // SIAM Journal on Scientific Computing. 2017. Vol. 39. Issue 6. P. A2741-A2762. https://doi.org/10.1137/17M1123195
2. Björck Å. Numerical methods in matrix computations. Cham: Springer, 2015. https://doi.org/10.1007/978-3-319-05089-8
3. Reichel L., Yu X. Matrix decompositions for Tikhonov regularization // Electronic Transactions on Numerical Analysis. 2015. Vol. 43. P. 223-243. https://www.emis.de///journals/ETNA/vol.43.2014-2015/pp223-243.dir/pp223-243.pdf
4. Dykes L., Noschese S., Reichel L. Rescaling the GSVD with application to ill-posed problems // Numerical Algorithms. 2015. Vol. 68. Issue 3. P. 531-545. https://doi.org/10.1007/s11075-014-9859-3
5. Onunwor E., Reichel L. On the computation of a truncated SVD of a large linear discrete ill-posed problem // Numerical Algorithms. 2017. Vol. 75. Issue 2. P. 359-380. https://doi.org/10.1007/s11075-016-0259-8
6. Zare H., Hajarian M. Determination of regularization parameter via solving a multi-objective optimization problem // Applied Numerical Mathematics. 2020. Vol. 156. P. 542-554. https://doi.org/10.1016/j.apnum.2020.05.021
7. Hochstenbach M.E., Reichel L., Rodriguez G. Regularization parameter determination for discrete ill-posed problems // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2015. Vol. 273. P. 132-149. https://doi.org/10.1016/j.cam.2014.06.004
8. Park Y., Reichel L., Rodriguez G., Yu X. Parameter determination for Tikhonov regularization problems in general form // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2018. Vol. 343. P. 12-25. https://doi.org/10.1016/j.cam.2018.04.049
9. Bauer F., Lukas M.A.Comparingparameter choice methods for regularization of ill-posed problems // Mathematics and Computers in Simulation. 2011. Vol. 81. Issue 9. P. 1795-1841. https://doi.org/10.1016/j.matcom.2011.01.016
10. Fenu C., Reichel L., Rodriguez G. GCV for Tikhonov regularization via global Golub-Kahan decomposition // Numerical Linear Algebra with Applications. 2016. Vol. 23. Issue 3. P. 467-484. https://doi.org/10.1002/nla.2034
11. Fenu C., Reichel L., Rodriguez G., Sadok H. GCV for Tikhonov regularization by partial SVD // BIT Numerical Mathematics. 2017. Vol. 57. Issue 4. P. 1019-1039. https://doi.org/10.1007/s10543-017-0662-0
12. Reichel L., Rodriguez G. Old and new parameter choice rules for discrete ill-posed problems // Numerical Algorithms. 2013. Vol. 63. Issue 1. P. 65-87. https://doi.org/10.1007/s11075-012-9612-8
13. Dykes L., Reichel L. Simplified GSVD computations for the solution of linear discrete ill-posed problems // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2014. Vol. 255. P. 15-27. https://doi.org/10.1016/j.cam.2013.04.019
14. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. М.: МГУ, 1984. https://zbmath.org/?q=an:0542.35002
15. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. https://zbmath.org/?q=an:0537.65024
16. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. https://zbmath.org/?q=an:0712.65042
17. Петров Ю.П., Сизиков В.С. Корректные, некорректные и промежуточные задачи с приложениями. СПб.: Политехник, 2003.
18. Сумин М.И. Некорректные задачи и методы их решения. Нижний Новгород: ННГУ, 2009.
19. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002.
20. Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. Новосибирск: Наука, 1998.
21. Surnin Yu.V. Decomposition and regularization of the solution of ill-conditioned inverse problems in processing of measurement information. Part 1. A theoretical evaluation of the method // Measurement Techniques. 2018. Vol. 61. Issue 3. P. 223-231. https://doi.org/10.1007/s11018-018-1413-6
22. Zhdanov A.I. Implicit iterative schemes based on singular decomposition and regularizing algorithms // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2018. Т. 22. № 3. С. 549-556. https://doi.org/10.14498/vsgtu1592
23. Buccini A., Pasha M., Reichel L. Generalized singular value decomposition with iterated Tikhonov regularization // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2020. Vol. 373. 112276. https://doi.org/10.1016/j.cam.2019.05.024
24. Bianchi D., Donatelli M. On generalized iterated Tikhonov regularization with operator-dependent seminorms // Electronic Transactions on Numerical Analysis. 2017. Vol. 47. P. 73-99. https://doi.org/10.1553/etna_vol47s73
25. Ватульян А.О., Явруян О.В. Методические указания к практическим заданиям по с/к «Обратные задачи механики» для студентов мех.-мат. ф-та. Ростов-на-Дону: РГУ, 2005.
26. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. М.: Физматлит, 2002. https://zbmath.org/?q=an:1017.45001
27. Чернов А.В. Линейная алгебра и функциональный анализ: основы теории и примеры решения задач. Нижний Новгород: НГТУ, 2010.
2. Björck Å. Numerical methods in matrix computations. Cham: Springer, 2015. https://doi.org/10.1007/978-3-319-05089-8
3. Reichel L., Yu X. Matrix decompositions for Tikhonov regularization // Electronic Transactions on Numerical Analysis. 2015. Vol. 43. P. 223-243. https://www.emis.de///journals/ETNA/vol.43.2014-2015/pp223-243.dir/pp223-243.pdf
4. Dykes L., Noschese S., Reichel L. Rescaling the GSVD with application to ill-posed problems // Numerical Algorithms. 2015. Vol. 68. Issue 3. P. 531-545. https://doi.org/10.1007/s11075-014-9859-3
5. Onunwor E., Reichel L. On the computation of a truncated SVD of a large linear discrete ill-posed problem // Numerical Algorithms. 2017. Vol. 75. Issue 2. P. 359-380. https://doi.org/10.1007/s11075-016-0259-8
6. Zare H., Hajarian M. Determination of regularization parameter via solving a multi-objective optimization problem // Applied Numerical Mathematics. 2020. Vol. 156. P. 542-554. https://doi.org/10.1016/j.apnum.2020.05.021
7. Hochstenbach M.E., Reichel L., Rodriguez G. Regularization parameter determination for discrete ill-posed problems // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2015. Vol. 273. P. 132-149. https://doi.org/10.1016/j.cam.2014.06.004
8. Park Y., Reichel L., Rodriguez G., Yu X. Parameter determination for Tikhonov regularization problems in general form // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2018. Vol. 343. P. 12-25. https://doi.org/10.1016/j.cam.2018.04.049
9. Bauer F., Lukas M.A.Comparingparameter choice methods for regularization of ill-posed problems // Mathematics and Computers in Simulation. 2011. Vol. 81. Issue 9. P. 1795-1841. https://doi.org/10.1016/j.matcom.2011.01.016
10. Fenu C., Reichel L., Rodriguez G. GCV for Tikhonov regularization via global Golub-Kahan decomposition // Numerical Linear Algebra with Applications. 2016. Vol. 23. Issue 3. P. 467-484. https://doi.org/10.1002/nla.2034
11. Fenu C., Reichel L., Rodriguez G., Sadok H. GCV for Tikhonov regularization by partial SVD // BIT Numerical Mathematics. 2017. Vol. 57. Issue 4. P. 1019-1039. https://doi.org/10.1007/s10543-017-0662-0
12. Reichel L., Rodriguez G. Old and new parameter choice rules for discrete ill-posed problems // Numerical Algorithms. 2013. Vol. 63. Issue 1. P. 65-87. https://doi.org/10.1007/s11075-012-9612-8
13. Dykes L., Reichel L. Simplified GSVD computations for the solution of linear discrete ill-posed problems // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2014. Vol. 255. P. 15-27. https://doi.org/10.1016/j.cam.2013.04.019
14. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. М.: МГУ, 1984. https://zbmath.org/?q=an:0542.35002
15. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. https://zbmath.org/?q=an:0537.65024
16. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. https://zbmath.org/?q=an:0712.65042
17. Петров Ю.П., Сизиков В.С. Корректные, некорректные и промежуточные задачи с приложениями. СПб.: Политехник, 2003.
18. Сумин М.И. Некорректные задачи и методы их решения. Нижний Новгород: ННГУ, 2009.
19. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002.
20. Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. Новосибирск: Наука, 1998.
21. Surnin Yu.V. Decomposition and regularization of the solution of ill-conditioned inverse problems in processing of measurement information. Part 1. A theoretical evaluation of the method // Measurement Techniques. 2018. Vol. 61. Issue 3. P. 223-231. https://doi.org/10.1007/s11018-018-1413-6
22. Zhdanov A.I. Implicit iterative schemes based on singular decomposition and regularizing algorithms // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2018. Т. 22. № 3. С. 549-556. https://doi.org/10.14498/vsgtu1592
23. Buccini A., Pasha M., Reichel L. Generalized singular value decomposition with iterated Tikhonov regularization // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2020. Vol. 373. 112276. https://doi.org/10.1016/j.cam.2019.05.024
24. Bianchi D., Donatelli M. On generalized iterated Tikhonov regularization with operator-dependent seminorms // Electronic Transactions on Numerical Analysis. 2017. Vol. 47. P. 73-99. https://doi.org/10.1553/etna_vol47s73
25. Ватульян А.О., Явруян О.В. Методические указания к практическим заданиям по с/к «Обратные задачи механики» для студентов мех.-мат. ф-та. Ростов-на-Дону: РГУ, 2005.
26. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. М.: Физматлит, 2002. https://zbmath.org/?q=an:1017.45001
27. Чернов А.В. Линейная алгебра и функциональный анализ: основы теории и примеры решения задач. Нижний Новгород: НГТУ, 2010.
Поступила в редакцию
2022-09-28
Опубликована 2022-11-20
Опубликована 2022-11-20