Дифференциальная игра с «линией жизни» для контрольного примера Понтрягина
Ключевые слова:
дифференциальная игра, преследование, уклонение, ускорение, стратегия, гарантированное время поимки, область достижимости, линия жизни
Аннотация
Основной целью данной работы является решение одной из основных задач Айзекса, а именно игры с «линией жизни» на контрольном примере Понтрягина, когда оба игрока имеют одинаковую динамику движения. Для решения этой задачи преследователю предлагается стратегия параллельного преследования (кратко $\Pi$-стратегия), обеспечивающая скорейшее сближение игроков и поимку убегающего в пределах некоторого замкнутого шара. Кроме того, для рассматриваемой дифференциальной игры приводится явная аналитическая формула для области достижимости игроков и обобщается основная лемма (лемма Л.А. Петросяна о монотонности относительно вложения области достижимости для игры простого преследования). Используя эту основную лемму, мы находим условия разрешимости игры с «линией жизни» и для контрольного примера Понтрягина. Для наглядности в конце работы приведены примеры для некоторых частных случаев.
Литература
1. Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967.
2. Понтрягин Л.С. Избранные труды. М.: МАКС Пресс, 2004.
3. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985.
4. Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами // Кибернетика. 1976. Т. 12. № 3. С. 145-146.
5. Petrosjan L.A. Differential games of pursuit. Singapore: World Scientific Publishing, 1993. https://doi.org/10.1142/1670
6. Friedman A. Differential games. New York: Wiley, 1971. https://zbmath.org/0229.90060
7. Fleming W.H. The convergence problem for differential games, II // Advances in game theory. 1964. P. 195-210. https://doi.org/10.1515/9781400882014-013
8. Bercovitz L.D. Differential games of generalized pursuit and evasion // SIAM Journal on Control and Optimization. 1986. Vol. 24. Issue 3. P. 361-373. https://doi.org/10.1137/0324021
9. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. Киев: Наукова думка, 1992.
10. Subbotin A.I. Generalization of the main equation of differential game theory // Journal of Optimization Theory and Applications. 1984. Vol. 43. Issue 1. P. 103-133. https://doi.org/10.1007/BF00934749
11. Сатимов Н.Ю. Методы решения задачи преследования в теории дифференциальных игр. Ташкент: Изд-во НУУз, 2019.
12. Петров Н.Н. «Мягкая» поимка в примере Л.С. Понтрягина со многими участниками // Прикладная математика и механика. 2003. Т. 67. Вып. 5. P. 759-770. https://elibrary.ru/item.asp?id=17296313
13. Азамов А. О задаче качества для игр простого преследования с ограничением // Сердика. Българско математическо списание. 1986. Т. 12. № 1. С. 38-43. http://www.math.bas.bg/serdica/1986/1986-038-043.pdf
14. Azamov A.A., Samatov B.T. The $\Pi$-strategy: Analogies and applications // Contributions to Game Theory and Management. 2011. Vol. 4. P. 33-46. https://www.mathnet.ru/rus/cgtm177
15. Azamov A.A., Samatov B.T. $\Pi$-strategy. Tashkent: National University of Uzbekistan, 2000.
16. Саматов Б.Т. О задачах группового преследования при интегральных ограничениях на управление игроков. І // Кибернетика и системный анализ. 2013. Т. 49. № 5. С. 132-145.
17. Petrov N.N. Simple group pursuit subject to phase constraints and data delay // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2018. Vol. 57. Issue 1. P. 37-42. https://doi.org/10.1134/S1064230718010094
18. Петров Н.Н., Нарманов А.Я. Многократная поимка заданного числа убегающих в задаче простого преследования // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2018. T. 28. Вып. 2. C. 193-198. https://doi.org/10.20537/vm180205
19. Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. M.: Изд-во Моск. ун-та. 1990.
20. Вагин Д.А., Петров Н.Н. Преследование группы убегающих в примере Понтрягина // Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68. Вып. 4. С. 623-628. https://elibrary.ru/item.asp?id=17670019
21. Корнев Д.В., Лукоянов Н.Ю. К задаче управления на минимакс позиционного функционала при геометрических и интегральных ограничениях на управляющие воздействия // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21. № 2. С. 87-101. https://www.mathnet.ru/rus/timm1173
22. Ibragimov G., Ferrara M., Ruziboev M., Pansera B.A. Linear evasion differential game of one evader and several pursuers with integral constraints // International Journal of Game Theory. 2021. Vol. 50. Issue 3. P. 729-750. https://doi.org/10.1007/s00182-021-00760-6
23. Ибрагимов Г.И. Задача об оптимальном преследовании, приводимая к бесконечной системе дифференциальных уравнений // Прикладная математика и механика. 2013. Т. 77. Вып. 5. С. 657-666. https://elibrary.ru/item.asp?id=20406054
24. Саматов Б.Т. О задаче преследования-убегания при линейном изменении ресурса преследователя // Математические труды. 2012. Т. 15. № 2. С. 159-171. https://www.mathnet.ru/rus/mt234
25. Саматов Б.Т. Задача преследования-убегания при интегрально-геометрических ограничениях на управления преследователя // Автоматика и телемеханика. 2013. Вып. 7. С. 17-28. https://www.mathnet.ru/rus/at5465
26. Банников А.С. Некоторые нестационарные задачи группового преследования // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2013. Вып. 1 (41). С. 3-46. https://www.mathnet.ru/rus/iimi247
27. Банников А.С., Петров Н.Н. К нестационарной задаче группового преследования // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 1. С. 40-51. https://www.mathnet.ru/rus/timm526
28. Samatov B.T., Ibragimov G., Khodjibayeva I.V. Pursuit-evasion differential games with the Grönwall type constraints on controls // Ural Mathematical Journal. 2020. Vol. 6. No. 2. P. 95-107. https://doi.org/10.15826/umj.2020.2.010
29. Yuldashev T.K. Nonlinear optimal control of thermal processes in a nonlinear inverse problem // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020. Vol. 41. Issue 1. P. 124-136. https://doi.org/10.1134/S1995080220010163
30. Vassilina G.K. Optimal control problem of stochastic systems // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2021. Vol. 42. Issue 3. P. 641-648. https://doi.org/10.1134/S1995080221030215
31. Ushakov V.N., Ershov A.A., Ushakov A.V., Kuvshinov O.A. Control system depending on a parameter // Ural Mathematical Journal. 2021. Vol. 7. No. 1. P. 120-159. https://doi.org/10.15826/umj.2021.1.011
32. Филиппова Т.Ф. Оценки множеств достижимости систем с импульсным управлением, неопределенностью и нелинейностью // Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика. 2017. Т. 19. С. 205-216. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2017.19.205
33. Мунц Н.В., Кумков С.С. Численный метод решения дифференциальных игр быстродействия с линией жизни // Математическая теория игр и её приложения. Т. 10. Вып. 3. С. 48-75. https://www.mathnet.ru/rus/mgta222
34. Мунц Н.В., Кумков С.С. О совпадении минимаксного решения и функции цены игры быстродействия с линией жизни // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24. № 2. С. 200-214. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-2-200-214
35. Samatov B.T., Soyibboev U.B. Differential game with a lifeline for the inertial movements of players // Ural Mathematical Journal. 2021. Vol. 7. No. 2. P. 94-109. https://doi.org/10.15826/umj.2021.2.007
36. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.
37. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление (линейная теория). M.: Высшая школа, 2001.
2. Понтрягин Л.С. Избранные труды. М.: МАКС Пресс, 2004.
3. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985.
4. Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами // Кибернетика. 1976. Т. 12. № 3. С. 145-146.
5. Petrosjan L.A. Differential games of pursuit. Singapore: World Scientific Publishing, 1993. https://doi.org/10.1142/1670
6. Friedman A. Differential games. New York: Wiley, 1971. https://zbmath.org/0229.90060
7. Fleming W.H. The convergence problem for differential games, II // Advances in game theory. 1964. P. 195-210. https://doi.org/10.1515/9781400882014-013
8. Bercovitz L.D. Differential games of generalized pursuit and evasion // SIAM Journal on Control and Optimization. 1986. Vol. 24. Issue 3. P. 361-373. https://doi.org/10.1137/0324021
9. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. Киев: Наукова думка, 1992.
10. Subbotin A.I. Generalization of the main equation of differential game theory // Journal of Optimization Theory and Applications. 1984. Vol. 43. Issue 1. P. 103-133. https://doi.org/10.1007/BF00934749
11. Сатимов Н.Ю. Методы решения задачи преследования в теории дифференциальных игр. Ташкент: Изд-во НУУз, 2019.
12. Петров Н.Н. «Мягкая» поимка в примере Л.С. Понтрягина со многими участниками // Прикладная математика и механика. 2003. Т. 67. Вып. 5. P. 759-770. https://elibrary.ru/item.asp?id=17296313
13. Азамов А. О задаче качества для игр простого преследования с ограничением // Сердика. Българско математическо списание. 1986. Т. 12. № 1. С. 38-43. http://www.math.bas.bg/serdica/1986/1986-038-043.pdf
14. Azamov A.A., Samatov B.T. The $\Pi$-strategy: Analogies and applications // Contributions to Game Theory and Management. 2011. Vol. 4. P. 33-46. https://www.mathnet.ru/rus/cgtm177
15. Azamov A.A., Samatov B.T. $\Pi$-strategy. Tashkent: National University of Uzbekistan, 2000.
16. Саматов Б.Т. О задачах группового преследования при интегральных ограничениях на управление игроков. І // Кибернетика и системный анализ. 2013. Т. 49. № 5. С. 132-145.
17. Petrov N.N. Simple group pursuit subject to phase constraints and data delay // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2018. Vol. 57. Issue 1. P. 37-42. https://doi.org/10.1134/S1064230718010094
18. Петров Н.Н., Нарманов А.Я. Многократная поимка заданного числа убегающих в задаче простого преследования // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2018. T. 28. Вып. 2. C. 193-198. https://doi.org/10.20537/vm180205
19. Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. M.: Изд-во Моск. ун-та. 1990.
20. Вагин Д.А., Петров Н.Н. Преследование группы убегающих в примере Понтрягина // Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68. Вып. 4. С. 623-628. https://elibrary.ru/item.asp?id=17670019
21. Корнев Д.В., Лукоянов Н.Ю. К задаче управления на минимакс позиционного функционала при геометрических и интегральных ограничениях на управляющие воздействия // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21. № 2. С. 87-101. https://www.mathnet.ru/rus/timm1173
22. Ibragimov G., Ferrara M., Ruziboev M., Pansera B.A. Linear evasion differential game of one evader and several pursuers with integral constraints // International Journal of Game Theory. 2021. Vol. 50. Issue 3. P. 729-750. https://doi.org/10.1007/s00182-021-00760-6
23. Ибрагимов Г.И. Задача об оптимальном преследовании, приводимая к бесконечной системе дифференциальных уравнений // Прикладная математика и механика. 2013. Т. 77. Вып. 5. С. 657-666. https://elibrary.ru/item.asp?id=20406054
24. Саматов Б.Т. О задаче преследования-убегания при линейном изменении ресурса преследователя // Математические труды. 2012. Т. 15. № 2. С. 159-171. https://www.mathnet.ru/rus/mt234
25. Саматов Б.Т. Задача преследования-убегания при интегрально-геометрических ограничениях на управления преследователя // Автоматика и телемеханика. 2013. Вып. 7. С. 17-28. https://www.mathnet.ru/rus/at5465
26. Банников А.С. Некоторые нестационарные задачи группового преследования // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2013. Вып. 1 (41). С. 3-46. https://www.mathnet.ru/rus/iimi247
27. Банников А.С., Петров Н.Н. К нестационарной задаче группового преследования // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 1. С. 40-51. https://www.mathnet.ru/rus/timm526
28. Samatov B.T., Ibragimov G., Khodjibayeva I.V. Pursuit-evasion differential games with the Grönwall type constraints on controls // Ural Mathematical Journal. 2020. Vol. 6. No. 2. P. 95-107. https://doi.org/10.15826/umj.2020.2.010
29. Yuldashev T.K. Nonlinear optimal control of thermal processes in a nonlinear inverse problem // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020. Vol. 41. Issue 1. P. 124-136. https://doi.org/10.1134/S1995080220010163
30. Vassilina G.K. Optimal control problem of stochastic systems // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2021. Vol. 42. Issue 3. P. 641-648. https://doi.org/10.1134/S1995080221030215
31. Ushakov V.N., Ershov A.A., Ushakov A.V., Kuvshinov O.A. Control system depending on a parameter // Ural Mathematical Journal. 2021. Vol. 7. No. 1. P. 120-159. https://doi.org/10.15826/umj.2021.1.011
32. Филиппова Т.Ф. Оценки множеств достижимости систем с импульсным управлением, неопределенностью и нелинейностью // Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика. 2017. Т. 19. С. 205-216. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2017.19.205
33. Мунц Н.В., Кумков С.С. Численный метод решения дифференциальных игр быстродействия с линией жизни // Математическая теория игр и её приложения. Т. 10. Вып. 3. С. 48-75. https://www.mathnet.ru/rus/mgta222
34. Мунц Н.В., Кумков С.С. О совпадении минимаксного решения и функции цены игры быстродействия с линией жизни // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24. № 2. С. 200-214. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-2-200-214
35. Samatov B.T., Soyibboev U.B. Differential game with a lifeline for the inertial movements of players // Ural Mathematical Journal. 2021. Vol. 7. No. 2. P. 94-109. https://doi.org/10.15826/umj.2021.2.007
36. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.
37. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление (линейная теория). M.: Высшая школа, 2001.
Поступила в редакцию
2022-11-02
Опубликована 2023-05-20
Опубликована 2023-05-20