Интегрирование уравнения мКдФ с нестационарными коэффициентами и дополнительными членами в случае движущихся собственных значений
Ключевые слова:
интегральное уравнение Гельфанда–Левитана–Марченко, система уравнений Дирака, решения Йоста, данные рассеяния
Аннотация
В данной работе рассматривается задача Коши для нестационарного модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза с дополнительным членом и с самосогласованным источником в случае движущихся собственных значений. Получена эволюция данных рассеяния оператора Дирака, потенциал которого является решением нагруженного модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза с самосогласованным источником в классе быстроубывающих функций. Приведены конкретные примеры, иллюстрирующие применение полученных результатов.
Литература
1. Wadati M. The exact solution of the modified Korteweg-de Vries equation // Journal of the Physical Society of Japan. 1972. Vol. 32. No. 6. P. 1681. https://doi.org/10.1143/JPSJ.32.1681
2. Leblond H., Sanchez F. Models for optical solitons in the two-cycle regime // Physical Review A. 2003. Vol. 67. Issue 1. 013804. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.67.013804
3. Leblond H., Mihalache D. Models of few optical cycle solitons beyond the slowly varying envelope approximation // Physics Reports. 2013. Vol. 523. Issue 2. P. 61-126. https://doi.org/10.1016/j.physrep.2012.10.006
4. Ono H. Soliton fission in anharmonic lattices with reflectionless inhomogeneity // Journal of the Physical Society of Japan. 1992. Vol. 61. No. 12. P. 4336-4343. https://doi.org/10.1143/JPSJ.61.4336
5. Kakutani T., Ono H. Weak non-linear hydromagnetic waves in a cold collision-free plasma // Journal of the Physical Society of Japan. 1969. Vol. 26. No. 5. P. 1305-1318. https://doi.org/10.1143/JPSJ.26.1305
6. Konno K., Ichikawa Y.H. A modified Korteweg-de Vries equation for ion acoustic waves // Journal of the Physical Society of Japan. 1974. Vol. 37. No. 6. P. 1631-1636. https://doi.org/10.1143/JPSJ.37.1631
7. Watanabe S. Ion acoustic soliton in plasma with negative ion // Journal of the Physical Society of Japan. 1984. Vol. 53. No. 3. P. 950-956. https://doi.org/10.1143/JPSJ.53.950
8. Lonngren K.E. Ion acoustic soliton experiment in a plasma // Optical and Quantum Electronics. 1998. Vol. 30. P. 615-630. https://doi.org/10.1023/A:1006910004292
9. Ziegler V., Dinkel J., Setzer C., Lonngren K.E. On the propagation of nonlinear solitary waves in a distributed Schottky barrier diode transmission line // Chaos, Solitons and Fractals. 2001. Vol. 12. Issue 9. P. 1719-1728. https://doi.org/10.1016/S0960-0779(00)00137-5
10. Cushman-Roisin B., Pratt L., Ralph E. A general theory for equivalent barotropic thin jets // Journal of Physical Oceanography. 1993. Vol. 23. Issue 1. P. 91-103. https://doi.org/10.1175/1520-0485(1993)023<0091:AGTFEB>2.0.CO;2
11. Ralph E.A., Pratt L. Predicting eddy detachment for an equivalent barotropic thin jet // Journal of Nonlinear Science. 1994. Vol. 4. Issue 1. P. 355-374. https://doi.org/10.1007/BF02430638
12. Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T., Kurkin A. Simulation of the transformation of internal solitary waves on oceanic shelves // Journal of Physical Oceanography. 2004. Vol. 34. Issue 12. P. 2774-2779. https://doi.org/10.1175/JPO2652.1
13. Grimshaw R. Internal solitary waves // Environmental stratified flows. New York: Springer, 2002. P. 1-27. https://doi.org/10.1007/0-306-48024-7_1
14. Tappert F.D., Varma C.M. Asymptotic theory of self-trapping of heat pulses in solids // Physical Review Letters. 1970. Vol. 25. Issue 16. P. 1108-1111. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.25.1108
15. Hirota R. Exact solution of the modified Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitons // Journal of the Physical Society of Japan. 1972. Vol. 33. No. 5. P. 1456-1458. https://doi.org/10.1143/jpsj.33.1456
16. Satsuma J. A Wronskian representation of $N$-soliton solutions of nonlinear evolution equations // Journal of the Physical Society of Japan. 1979. Vol. 46. No. 1. P. 359-360. https://doi.org/10.1143/JPSJ.46.359
17. Nimmo J.J.C., Freeman N.C. The use of Backlund transformations in obtaining $N$-soliton solutions in Wronskian form // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1984. Vol. 17. No. 7. P. 1415-1424. https://doi.org/10.1088/0305-4470/17/7/009
18. Gesztesy T., Schweiger W. Rational $KP$ and $mKP$-solutions in Wronskian form // Reports on Mathematical Physics. 1991. Vol. 30. Issue 2. P. 205-222. https://doi.org/10.1016/0034-4877(91)90025-I
19. Хасанов А.Б., Уразбоев Г.У. Метод решения уравнения мКдФ с самосогласованным источником // Узбекский математический журнал. 2003. № 1. С. 69-75.
20. Уразбоев Г.У. О модифицированном уравнении КдФ с самосогласованным источником, соответствующим кратным собственным значениям // Доклады Академии наук РУз. 2005. № 5. С. 11-14.
21. Мамедов К.А. Об интегрировании модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза с источником интегрального типа // Доклады Академии наук РУз. 2006. № 2. С. 24-28.
22. Демонтис Ф. Точные решения модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза // Теоретическая и математическая физика. 2011. Т. 168. № 1. С. 35-48. https://doi.org/10.4213/tmf6662
23. Мамедов К.А. Интегрирование уравнения мКдФ с самосогласованным источником в классе функций конечной плотности, в случае движущихся собственных значений // Известия высших учебных заведений. Математика. 2020. № 10. С. 73-85. https://doi.org/10.26907/0021-3446-2020-10-73-85
24. Wu Jianping, Geng Xianguo. Inverse scattering transform and soliton classification of the coupled modified Korteweg-de Vries equation // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2017. Vol. 53. P. 83-93. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2017.03.022
25. Zhang Guoqiang, Yan Zhenya. Focusing and defocusing mKdV equations with nonzero boundary conditions: Inverse scattering transforms and soliton interactions // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2020. Vol. 410. 132521. https://doi.org/10.1016/j.physd.2020.132521
26. Vaneeva O. Lie symmetries and exact solutions of variable coefficient mKdV equations: An equivalence based approach // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2012. Vol. 17. Issue 2. P. 611-618. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2011.06.038
27. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987.
28. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988.
29. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995.
30. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференциальные уравнения. 1983. T. 19. № 1. С. 86-94. https://www.mathnet.ru/rus/de4747
31. Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. T. 44. № 4. С. 694-716. https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf862
32. Hasanov A.B., Hoitmetov U.A. On integration of the loaded Korteweg-de Vries equation in the class of rapidly decreasing functions // Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Azerbaijan. 2021. Vol. 47. No. 2. P. 250-261. https://doi.org/10.30546/2409-4994.47.2.250
33. Hoitmetov U.A. Integration of the loaded KdV equation with a self-consistent source of integral type in the class of rapidly decreasing complex-valued functions // Siberian Advances in Mathematics. 2022. Vol. 33. No. 2. P. 102-114. https://doi.org/10.1134/S1055134422020043
34. Хасанов А.Б., Хоитметов У.А. Интегрирование общего нагруженного уравнения Кортевега-де Фриза с интегральным источником в классе быстроубывающих комплекснозначных функций // Известия высших учебных заведений. Математика. 2021. № 7. С. 52-66. https://doi.org/10.26907/0021-3446-2021-7-52-66
35. Хасанов А.Б., Хоитметов У.А. О комплекснозначных решениях общего нагруженного уравнения Кортевега-де Фриза с источником // Дифференциальные уравнения. 2022. Т. 58. № 3. P. 385-394.
36. Hoitmetov U. Integration of the loaded general Korteweg-de Vries equation in the class of rapidly decreasing complex-valued functions // Eurasian Mathematical Journal. 2022. Vol. 13. No. 2. P. 43-54. https://doi.org/10.32523/2077-9879-2022-13-2-43-54
37. Хасанов А.Б., Хоитметов У.А. Об интегрировании нагруженного уравнения мКдВ в классе быстроубывающих функций // Известия Иркутского государственного университета. Серия «Математика». 2021. Т. 38. С. 19-35. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2021.38.19
38. Hoitmetov U.A. Integration of the sine-Gordon equation with a source and an additional term // Reports on Mathematical Physics. 2022. Vol. 90. Issue 2. P. 221-240. https://doi.org/10.1016/S0034-4877(22)00067-2
2. Leblond H., Sanchez F. Models for optical solitons in the two-cycle regime // Physical Review A. 2003. Vol. 67. Issue 1. 013804. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.67.013804
3. Leblond H., Mihalache D. Models of few optical cycle solitons beyond the slowly varying envelope approximation // Physics Reports. 2013. Vol. 523. Issue 2. P. 61-126. https://doi.org/10.1016/j.physrep.2012.10.006
4. Ono H. Soliton fission in anharmonic lattices with reflectionless inhomogeneity // Journal of the Physical Society of Japan. 1992. Vol. 61. No. 12. P. 4336-4343. https://doi.org/10.1143/JPSJ.61.4336
5. Kakutani T., Ono H. Weak non-linear hydromagnetic waves in a cold collision-free plasma // Journal of the Physical Society of Japan. 1969. Vol. 26. No. 5. P. 1305-1318. https://doi.org/10.1143/JPSJ.26.1305
6. Konno K., Ichikawa Y.H. A modified Korteweg-de Vries equation for ion acoustic waves // Journal of the Physical Society of Japan. 1974. Vol. 37. No. 6. P. 1631-1636. https://doi.org/10.1143/JPSJ.37.1631
7. Watanabe S. Ion acoustic soliton in plasma with negative ion // Journal of the Physical Society of Japan. 1984. Vol. 53. No. 3. P. 950-956. https://doi.org/10.1143/JPSJ.53.950
8. Lonngren K.E. Ion acoustic soliton experiment in a plasma // Optical and Quantum Electronics. 1998. Vol. 30. P. 615-630. https://doi.org/10.1023/A:1006910004292
9. Ziegler V., Dinkel J., Setzer C., Lonngren K.E. On the propagation of nonlinear solitary waves in a distributed Schottky barrier diode transmission line // Chaos, Solitons and Fractals. 2001. Vol. 12. Issue 9. P. 1719-1728. https://doi.org/10.1016/S0960-0779(00)00137-5
10. Cushman-Roisin B., Pratt L., Ralph E. A general theory for equivalent barotropic thin jets // Journal of Physical Oceanography. 1993. Vol. 23. Issue 1. P. 91-103. https://doi.org/10.1175/1520-0485(1993)023<0091:AGTFEB>2.0.CO;2
11. Ralph E.A., Pratt L. Predicting eddy detachment for an equivalent barotropic thin jet // Journal of Nonlinear Science. 1994. Vol. 4. Issue 1. P. 355-374. https://doi.org/10.1007/BF02430638
12. Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T., Kurkin A. Simulation of the transformation of internal solitary waves on oceanic shelves // Journal of Physical Oceanography. 2004. Vol. 34. Issue 12. P. 2774-2779. https://doi.org/10.1175/JPO2652.1
13. Grimshaw R. Internal solitary waves // Environmental stratified flows. New York: Springer, 2002. P. 1-27. https://doi.org/10.1007/0-306-48024-7_1
14. Tappert F.D., Varma C.M. Asymptotic theory of self-trapping of heat pulses in solids // Physical Review Letters. 1970. Vol. 25. Issue 16. P. 1108-1111. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.25.1108
15. Hirota R. Exact solution of the modified Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitons // Journal of the Physical Society of Japan. 1972. Vol. 33. No. 5. P. 1456-1458. https://doi.org/10.1143/jpsj.33.1456
16. Satsuma J. A Wronskian representation of $N$-soliton solutions of nonlinear evolution equations // Journal of the Physical Society of Japan. 1979. Vol. 46. No. 1. P. 359-360. https://doi.org/10.1143/JPSJ.46.359
17. Nimmo J.J.C., Freeman N.C. The use of Backlund transformations in obtaining $N$-soliton solutions in Wronskian form // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1984. Vol. 17. No. 7. P. 1415-1424. https://doi.org/10.1088/0305-4470/17/7/009
18. Gesztesy T., Schweiger W. Rational $KP$ and $mKP$-solutions in Wronskian form // Reports on Mathematical Physics. 1991. Vol. 30. Issue 2. P. 205-222. https://doi.org/10.1016/0034-4877(91)90025-I
19. Хасанов А.Б., Уразбоев Г.У. Метод решения уравнения мКдФ с самосогласованным источником // Узбекский математический журнал. 2003. № 1. С. 69-75.
20. Уразбоев Г.У. О модифицированном уравнении КдФ с самосогласованным источником, соответствующим кратным собственным значениям // Доклады Академии наук РУз. 2005. № 5. С. 11-14.
21. Мамедов К.А. Об интегрировании модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза с источником интегрального типа // Доклады Академии наук РУз. 2006. № 2. С. 24-28.
22. Демонтис Ф. Точные решения модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза // Теоретическая и математическая физика. 2011. Т. 168. № 1. С. 35-48. https://doi.org/10.4213/tmf6662
23. Мамедов К.А. Интегрирование уравнения мКдФ с самосогласованным источником в классе функций конечной плотности, в случае движущихся собственных значений // Известия высших учебных заведений. Математика. 2020. № 10. С. 73-85. https://doi.org/10.26907/0021-3446-2020-10-73-85
24. Wu Jianping, Geng Xianguo. Inverse scattering transform and soliton classification of the coupled modified Korteweg-de Vries equation // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2017. Vol. 53. P. 83-93. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2017.03.022
25. Zhang Guoqiang, Yan Zhenya. Focusing and defocusing mKdV equations with nonzero boundary conditions: Inverse scattering transforms and soliton interactions // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2020. Vol. 410. 132521. https://doi.org/10.1016/j.physd.2020.132521
26. Vaneeva O. Lie symmetries and exact solutions of variable coefficient mKdV equations: An equivalence based approach // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2012. Vol. 17. Issue 2. P. 611-618. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2011.06.038
27. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987.
28. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988.
29. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995.
30. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференциальные уравнения. 1983. T. 19. № 1. С. 86-94. https://www.mathnet.ru/rus/de4747
31. Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. T. 44. № 4. С. 694-716. https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf862
32. Hasanov A.B., Hoitmetov U.A. On integration of the loaded Korteweg-de Vries equation in the class of rapidly decreasing functions // Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Azerbaijan. 2021. Vol. 47. No. 2. P. 250-261. https://doi.org/10.30546/2409-4994.47.2.250
33. Hoitmetov U.A. Integration of the loaded KdV equation with a self-consistent source of integral type in the class of rapidly decreasing complex-valued functions // Siberian Advances in Mathematics. 2022. Vol. 33. No. 2. P. 102-114. https://doi.org/10.1134/S1055134422020043
34. Хасанов А.Б., Хоитметов У.А. Интегрирование общего нагруженного уравнения Кортевега-де Фриза с интегральным источником в классе быстроубывающих комплекснозначных функций // Известия высших учебных заведений. Математика. 2021. № 7. С. 52-66. https://doi.org/10.26907/0021-3446-2021-7-52-66
35. Хасанов А.Б., Хоитметов У.А. О комплекснозначных решениях общего нагруженного уравнения Кортевега-де Фриза с источником // Дифференциальные уравнения. 2022. Т. 58. № 3. P. 385-394.
36. Hoitmetov U. Integration of the loaded general Korteweg-de Vries equation in the class of rapidly decreasing complex-valued functions // Eurasian Mathematical Journal. 2022. Vol. 13. No. 2. P. 43-54. https://doi.org/10.32523/2077-9879-2022-13-2-43-54
37. Хасанов А.Б., Хоитметов У.А. Об интегрировании нагруженного уравнения мКдВ в классе быстроубывающих функций // Известия Иркутского государственного университета. Серия «Математика». 2021. Т. 38. С. 19-35. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2021.38.19
38. Hoitmetov U.A. Integration of the sine-Gordon equation with a source and an additional term // Reports on Mathematical Physics. 2022. Vol. 90. Issue 2. P. 221-240. https://doi.org/10.1016/S0034-4877(22)00067-2
Поступила в редакцию
2022-12-30
Опубликована 2023-05-20
Опубликована 2023-05-20