О монотонной аппроксимации кусочно непрерывных монотонных функций с помощью сдвигов и сжатий интеграла Лапласа
Ключевые слова:
кусочно непрерывные монотонные функции, равномерная аппроксимация, интеграл Лапласа, функция Гаусса, квадратичная экспонента
Аннотация
Для кусочно непрерывных монотонных функций, заданных на конечном отрезке $[-b;b]$, строится монотонная гладкая аппроксимация $Q(x)$ с любой заранее заданной точностью в метрике пространства $\mathbf{C}(\Pi)$ при сколь угодно малой мере разности $[-b;b]\setminus\Pi$, $\Pi\subset[-b;b]$, с помощью сдвигов и сжатий функции (интеграла) Лапласа. При этом распространяется полученный автором ранее результат о сколь угодно точной в метрике пространства $\mathbf{C}[-b;b]$ монотонной аппроксимации непрерывных монотонных функций с помощью сдвигов и сжатий интеграла Лапласа на случай кусочно непрерывных функций. Кроме того, предлагается новый способ аппроксимации в виде линейной комбинации сдвигов и сжатий функции Лапласа. Приводятся и обсуждаются конкретные численные примеры применения исследуемых способов аппроксимации для кусочно постоянной (ступенчатой) и кусочно непрерывной монотонных функций. Проводится сравнение полученных результатов для обсуждаемых способов аппроксимации.
Литература
1. Robbins H., Monro S. A stochastic approximation method // The Annals of Mathematical Statistics. 1951. Vol. 22. Issue 3. P. 400-407. https://doi.org/10.1214/aoms/1177729586
2. Гончарский А.В., Черепащук А.М., Ягола А.Г. Численные методы решения задач астрофизики. М.: Наука, 1978. https://zbmath.org/0495.35077
3. Гончарский А.В., Черепащук А.М., Ягола А.Г. Некорректные задачи астрофизики. М.: Наука, 1985.
4. Чернов А.В. О равномерной монотонной аппроксимации непрерывных монотонных функций с помощью сдвигов и сжатий интеграла Лапласа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2022. Т. 62. № 4. С. 580-596. https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf11383
5. Чернов А.В. Об использовании квадратичных экспонент с варьируемыми параметрами для аппроксимации функций одного переменного на конечном отрезке // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 2. С. 267-282. https://doi.org/10.20537/vm170210
6. Чернов А.В. О применении квадратичных экспонент для дискретизации задач оптимального управления // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 4. С. 558-575. https://doi.org/10.20537/vm170406
7. Чернов А.В. О применении функций Гаусса для численного решения задач оптимального управления // Автоматика и телемеханика. 2019. № 6. С. 51-69. https://doi.org/10.1134/S0005231019060035
8. Чернов А.В. О применении функций Гаусса в сочетании с теоремой Колмогорова для аппроксимации функций многих переменных // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2020. Т. 60. № 5. С. 784-801. https://doi.org/10.31857/S0044466920050075
9. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. https://zbmath.org/?q=an:1006.42030
10. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. М.: Физматлит, 2006. https://zbmath.org/?q=an:1206.42001
11. Maz'ya V., Schmidt G. On approximate approximations using Gaussian kernels // IMA Journal of Numerical Analysis. 1996. Vol. 16. Issue 1. P. 13-29. https://doi.org/10.1093/imanum/16.1.13
12. Lanzara F., Maz'ya V., Schmidt G. Approximate approximations from scattered data // Journal of Approximation Theory. 2007. Vol. 145. Issue 2. P. 141-170. https://doi.org/10.1016/j.jat.2006.08.003
13. Maz'ya V., Schmidt G. Approximate approximations. Providence: AMS, 2007. https://zbmath.org/1120.41013
14. Baxter B.J.C., Sivakumar N. On shifted cardinal interpolation by Gaussians and multiquadratics // Journal of Approximation Theory. 1996. Vol. 87. Issue 1. P. 36-59. https://doi.org/10.1006/jath.1996.0091
15. Riemenschneider S.D., Sivakumar N. On cardinal interpolation by Gaussian radial-basis functions: Properties of fundamental functions and estimates for Lebesgue constants // Journal d'Analyse Mathématique. 1999. Vol. 79. Issue 1. P. 33-61. https://doi.org/10.1007/BF02788236
16. Riemenschneider S.D., Sivakumar N. Cardinal interpolation by Gaussian functions: A survey // The Journal of Analysis. 2000. Vol. 8. P. 157-178. https://zbmath.org/0972.41009
17. Luh Lin-Tian. The shape parameter in the Gaussian function // Computers and Mathematics with Applications. 2012. Vol. 63. Issue 3. P. 687-694. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2011.11.032
18. Hamm K. Approximation rates for interpolation of Sobolev functions via Gaussians and allied functions // Journal of Approximation Theory. 2015. Vol. 189. P. 101-122. https://doi.org/10.1016/j.jat.2014.10.011
19. Hangelbroek T., Madych W., Narcowich F., Ward J.D. Cardinal interpolation with Gaussian kernels // Journal of Fourier Analysis and Applications. 2012. Vol. 18. Issue 1. P. 67-86. https://doi.org/10.1007/s00041-011-9185-2
20. Fornberg B., Larsson E., Flyer N. Stable computations with Gaussian radial basis functions // SIAM Journal on Scientific Computing. 2011. Vol. 33. Issue 2. P. 869-892. https://doi.org/10.1137/09076756X
21. Madych W.R., Nelson S.A. Bounds on multivariate polynomials and exponential error estimates for multiquadratic interpolation // Journal of Approximation Theory. 1992. Vol. 70. Issue 1. P. 94-114. https://doi.org/10.1016/0021-9045(92)90058-V
22. Griebel M., Schneider M., Zenger C. A combination technique for the solution of sparse grid problems // Iterative methods in linear algebra. Proceedings of the IMACS international symposium, Brussels, Belgium, 2-4 April, 1991. Amsterdam: North-Holland, 1992. P. 263-281. https://zbmath.org/0785.65101
23. Georgoulis E., Levesley J., Subhan F. Multilevel sparse kernel-based interpolation // SIAM Journal on Scientific Computing. 2013. Vol. 35. Issue 2. P. A815-A831. https://doi.org/10.1137/110859610
24. Buhmann M.D. Radial basis functions. Theory and implementations. Cambridge: Cambridge University Press, 2003. https://doi.org/10.1017/CBO9780511543241
25. Shisha O. Monotone approximation // Pacific Journal of Mathematics. 1965. Vol. 15. Issue 2. P. 667-671. https://doi.org/10.2140/pjm.1965.15.667
26. Roulier J.A. Monotone approximation of certain classes of function // Journal of Approximation Theory. 1968. Vol. 1. Issue 3. P. 319-324. https://doi.org/10.1016/0021-9045(68)90009-9
27. Lorentz G.G., Zeller K.L. Degree of approximation by monotone polynomials. I // Journal of Approximation Theory. 1968. Vol. 1. Issue 4. P. 501-504. https://doi.org/10.1016/0021-9045(68)90039-7
28. DeVore R.A. Monotone approximation by polynomials // SIAM Journal on Mathematical Analysis. 1977. Vol. 8. Issue 5. P. 906-921. https://doi.org/10.1137/0508069
29. DeVore R.A.,Yu Xiang Ming. Pointwise estimates for monotone polynomial approximation // Constructive Approximation. 1985. Vol. 1. P. 323-331. https://doi.org/10.1007/BF01890039
30. Шевчук И.А. Приближение монотонных функций монотонными многочленами // Математический сборник. 1992. Т. 183. № 5. С. 63-78. https://www.mathnet.ru/rus/sm1123
31. DeVore R.A., Leviatan D., Shevchuk I.A. Approximation of monotone functions: A counter example // Proceedings of Chamonix, 1996. Nashville: Vanderbilt University Press, 1997. P. 95-102. https://zbmath.org/0958.41012
32. Gilewicz J., Konovalov V.N., Leviatan D. Widths and shape-preserving widths of Sobolev-type classes of s-monotone functions // Journal of Approximation Theory. 2006. Vol. 140. Issue 2. P. 101-126. https://doi.org/10.1016/j.jat.2005.11.016
33. Kunsch R.J. The difficulty of Monte Carlo approximation of multivariate monotone functions // Journal of Approximation Theory. 2019. Vol. 241. P. 33-56. https://doi.org/10.1016/j.jat.2019.01.003
34. Moré J.J., Thuente D.J. Line search algorithms with guaranteed sufficient decrease // ACM Transactions on Mathematical Software. 1994. Vol. 20. Issue 3. P. 286-307. https://doi.org/10.1145/192115.192132
2. Гончарский А.В., Черепащук А.М., Ягола А.Г. Численные методы решения задач астрофизики. М.: Наука, 1978. https://zbmath.org/0495.35077
3. Гончарский А.В., Черепащук А.М., Ягола А.Г. Некорректные задачи астрофизики. М.: Наука, 1985.
4. Чернов А.В. О равномерной монотонной аппроксимации непрерывных монотонных функций с помощью сдвигов и сжатий интеграла Лапласа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2022. Т. 62. № 4. С. 580-596. https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf11383
5. Чернов А.В. Об использовании квадратичных экспонент с варьируемыми параметрами для аппроксимации функций одного переменного на конечном отрезке // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 2. С. 267-282. https://doi.org/10.20537/vm170210
6. Чернов А.В. О применении квадратичных экспонент для дискретизации задач оптимального управления // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 4. С. 558-575. https://doi.org/10.20537/vm170406
7. Чернов А.В. О применении функций Гаусса для численного решения задач оптимального управления // Автоматика и телемеханика. 2019. № 6. С. 51-69. https://doi.org/10.1134/S0005231019060035
8. Чернов А.В. О применении функций Гаусса в сочетании с теоремой Колмогорова для аппроксимации функций многих переменных // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2020. Т. 60. № 5. С. 784-801. https://doi.org/10.31857/S0044466920050075
9. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. https://zbmath.org/?q=an:1006.42030
10. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. М.: Физматлит, 2006. https://zbmath.org/?q=an:1206.42001
11. Maz'ya V., Schmidt G. On approximate approximations using Gaussian kernels // IMA Journal of Numerical Analysis. 1996. Vol. 16. Issue 1. P. 13-29. https://doi.org/10.1093/imanum/16.1.13
12. Lanzara F., Maz'ya V., Schmidt G. Approximate approximations from scattered data // Journal of Approximation Theory. 2007. Vol. 145. Issue 2. P. 141-170. https://doi.org/10.1016/j.jat.2006.08.003
13. Maz'ya V., Schmidt G. Approximate approximations. Providence: AMS, 2007. https://zbmath.org/1120.41013
14. Baxter B.J.C., Sivakumar N. On shifted cardinal interpolation by Gaussians and multiquadratics // Journal of Approximation Theory. 1996. Vol. 87. Issue 1. P. 36-59. https://doi.org/10.1006/jath.1996.0091
15. Riemenschneider S.D., Sivakumar N. On cardinal interpolation by Gaussian radial-basis functions: Properties of fundamental functions and estimates for Lebesgue constants // Journal d'Analyse Mathématique. 1999. Vol. 79. Issue 1. P. 33-61. https://doi.org/10.1007/BF02788236
16. Riemenschneider S.D., Sivakumar N. Cardinal interpolation by Gaussian functions: A survey // The Journal of Analysis. 2000. Vol. 8. P. 157-178. https://zbmath.org/0972.41009
17. Luh Lin-Tian. The shape parameter in the Gaussian function // Computers and Mathematics with Applications. 2012. Vol. 63. Issue 3. P. 687-694. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2011.11.032
18. Hamm K. Approximation rates for interpolation of Sobolev functions via Gaussians and allied functions // Journal of Approximation Theory. 2015. Vol. 189. P. 101-122. https://doi.org/10.1016/j.jat.2014.10.011
19. Hangelbroek T., Madych W., Narcowich F., Ward J.D. Cardinal interpolation with Gaussian kernels // Journal of Fourier Analysis and Applications. 2012. Vol. 18. Issue 1. P. 67-86. https://doi.org/10.1007/s00041-011-9185-2
20. Fornberg B., Larsson E., Flyer N. Stable computations with Gaussian radial basis functions // SIAM Journal on Scientific Computing. 2011. Vol. 33. Issue 2. P. 869-892. https://doi.org/10.1137/09076756X
21. Madych W.R., Nelson S.A. Bounds on multivariate polynomials and exponential error estimates for multiquadratic interpolation // Journal of Approximation Theory. 1992. Vol. 70. Issue 1. P. 94-114. https://doi.org/10.1016/0021-9045(92)90058-V
22. Griebel M., Schneider M., Zenger C. A combination technique for the solution of sparse grid problems // Iterative methods in linear algebra. Proceedings of the IMACS international symposium, Brussels, Belgium, 2-4 April, 1991. Amsterdam: North-Holland, 1992. P. 263-281. https://zbmath.org/0785.65101
23. Georgoulis E., Levesley J., Subhan F. Multilevel sparse kernel-based interpolation // SIAM Journal on Scientific Computing. 2013. Vol. 35. Issue 2. P. A815-A831. https://doi.org/10.1137/110859610
24. Buhmann M.D. Radial basis functions. Theory and implementations. Cambridge: Cambridge University Press, 2003. https://doi.org/10.1017/CBO9780511543241
25. Shisha O. Monotone approximation // Pacific Journal of Mathematics. 1965. Vol. 15. Issue 2. P. 667-671. https://doi.org/10.2140/pjm.1965.15.667
26. Roulier J.A. Monotone approximation of certain classes of function // Journal of Approximation Theory. 1968. Vol. 1. Issue 3. P. 319-324. https://doi.org/10.1016/0021-9045(68)90009-9
27. Lorentz G.G., Zeller K.L. Degree of approximation by monotone polynomials. I // Journal of Approximation Theory. 1968. Vol. 1. Issue 4. P. 501-504. https://doi.org/10.1016/0021-9045(68)90039-7
28. DeVore R.A. Monotone approximation by polynomials // SIAM Journal on Mathematical Analysis. 1977. Vol. 8. Issue 5. P. 906-921. https://doi.org/10.1137/0508069
29. DeVore R.A.,Yu Xiang Ming. Pointwise estimates for monotone polynomial approximation // Constructive Approximation. 1985. Vol. 1. P. 323-331. https://doi.org/10.1007/BF01890039
30. Шевчук И.А. Приближение монотонных функций монотонными многочленами // Математический сборник. 1992. Т. 183. № 5. С. 63-78. https://www.mathnet.ru/rus/sm1123
31. DeVore R.A., Leviatan D., Shevchuk I.A. Approximation of monotone functions: A counter example // Proceedings of Chamonix, 1996. Nashville: Vanderbilt University Press, 1997. P. 95-102. https://zbmath.org/0958.41012
32. Gilewicz J., Konovalov V.N., Leviatan D. Widths and shape-preserving widths of Sobolev-type classes of s-monotone functions // Journal of Approximation Theory. 2006. Vol. 140. Issue 2. P. 101-126. https://doi.org/10.1016/j.jat.2005.11.016
33. Kunsch R.J. The difficulty of Monte Carlo approximation of multivariate monotone functions // Journal of Approximation Theory. 2019. Vol. 241. P. 33-56. https://doi.org/10.1016/j.jat.2019.01.003
34. Moré J.J., Thuente D.J. Line search algorithms with guaranteed sufficient decrease // ACM Transactions on Mathematical Software. 1994. Vol. 20. Issue 3. P. 286-307. https://doi.org/10.1145/192115.192132
Поступила в редакцию
2023-03-10
Опубликована 2023-05-20
Опубликована 2023-05-20