Асимптотическое разложение погрешности численного метода для решения волнового уравнения с функциональным запаздыванием
Ключевые слова:
волновое уравнение, функциональное запаздывание, численный метод с весами, кусочно-кубическая интерполяция, метод Ричардсона, порядок сходимости
Аннотация
Рассматривается волновое уравнение с функциональным запаздыванием. Производится дискретизация задачи. Приводятся конструкции разностного метода с весами с кусочно-линейной интерполяцией. Конструируется базовый метод с весами с кусочно-кубической интерполяцией. Изучается порядок невязки без интерполяции базового метода и выписываются коэффициенты разложения невязки относительно шагов дискретизации по времени и пространству. Доказывается, что метод с весами с кусочно-кубической интерполяцией сходится с порядком 2 в энергетической норме. Выписывается уравнение для главного члена асимптотического разложения глобальной погрешности базового метода. При определенных предположениях обосновывается законность применения процедуры экстраполяции по Ричардсону, и строится соответствующий численный метод, имеющий четвертый порядок сходимости относительно шагов дискретизации по времени и пространству. Доказывается справедливость формул Рунге практической оценки погрешности. Приводятся результаты численных экспериментов на тестовом примере.
Литература
1. Wu Jianhong. Theory and applications of partial functional differential equations. New York: Springer, 1996. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4050-1
2. Polyanin A.D., Sorokin V.G., Zhurov A.I. Delay ordinary and partial differential equations. Chapman and Hall/CRC, 2023. https://doi.org/10.1201/9781003042310
3. Liu Pan-Ping. Periodic solutions in an epidemic model with diffusion and delay // Applied Mathematics and Computation. 2015. Vol. 265. P. 275–291. https://doi.org/10.1016/j.amc.2015.05.028
4. Hattaf K., Yousfi N. A generalized HBV model with diffusion and two delays // Computers and Mathematics with Applications. 2015. Vol. 69. Issue 1. P. 31–40. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2014.11.010
5. Cheng Yueling, Lu Dianchen, Zhou Jiangbo, Wei Jingdong. Existence of traveling wave solutions with critical speed in a delayed diffusive epidemic model // Advances in Difference Equations. 2019. Vol. 2019. Issue 1. Article number: 494. https://doi.org/10.1186/s13662-019-2432-6
6. Jia Yunfeng. Bifurcation and pattern formation of a timor-immune model with time-delay and diffusion // Mathematics and Computers in Simulation. 2020. Vol. 178. P. 92–108. https://doi.org/10.1016/j.matcom.2020.06.011
7. Polyanin A.D., Sorokin V.G. New exact solutions of nonlinear wave type PDE with delay // Applied Mathematics Letters. 2020. Vol. 108. 106512. https://doi.org/10.1016/j.aml.2020.106512
8. Пименов В.Г. Разностные методы решения уравнений в частных производных с наследственностью. Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 2014.
9. Solodushkin S.I., Yumanova I.F., de Staelen R.H. First order partial differential equations with time delay and retardation of a state variable // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2015. Vol. 289. P. 322–330. https://doi.org/10.1016/j.cam.2014.12.032
10. Hendy A.S., de Staelen R.H., Pimenov V.G. A semi-linear delayed diffusion-wave system with distributed order in time // Numerical Algorithms. 2018. Vol. 77. Issue 3. P. 885–903. https://doi.org/10.1007/s11075-017-0344-7
11. Li Lili, Zhou Boya, Chen Xiaoli, Wang Zhiyong. Convergence and stability of compact finite difference method for nonlinear time fractional reaction–diffusion equations with delay // Applied Mathematics and Computation. 2018. Vol. 337. P. 144–152. https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.04.057
12. Hendy A.S., Macías-Díaz J.E. A novel discrete Gronwall inequality in the analysis of difference schemes for time-fractional multi-delayed diffusion equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2019. Vol. 73. P. 110–119. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2019.02.005
13. Xu Xiuxiu, Huang Qiumei. Discontinuous Galerkin time stepping for semilinear parabolic problems with time constant delay // Journal of Scientific Computing. 2023. Vol. 96. Issue 2. Article number: 57. https://doi.org/10.1007/s10915-023-02278-3
14. Пименов В.Г., Таширова Е.Е. Численные методы решения уравнения гиперболического типа с наследственностью // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18. № 2. C. 222–231. https://www.mathnet.ru/rus/timm823
15. Deng Dingwen, Chen Jingliang. Explicit Richardson extrapolation methods and their analyses for solving two-dimensional nonlinear wave equation with delays // Networks and Heterogeneous Media. 2023. Vol. 18. Issue 1. P. 412–443. https://doi.org/10.3934/nhm.2023017
16. Zhang Chengjian, Tan Zengqiang. Linearized compact difference methods combined with Richardson extrapolation for nonlinear delay Sobolev equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2020. Vol. 91. 105461. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2020.105461
17. Ким А.В., Пименов В.Г. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-диффренциальных уравнений. М.–Ижевск: РХД, 2004.
18. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
19. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.
2. Polyanin A.D., Sorokin V.G., Zhurov A.I. Delay ordinary and partial differential equations. Chapman and Hall/CRC, 2023. https://doi.org/10.1201/9781003042310
3. Liu Pan-Ping. Periodic solutions in an epidemic model with diffusion and delay // Applied Mathematics and Computation. 2015. Vol. 265. P. 275–291. https://doi.org/10.1016/j.amc.2015.05.028
4. Hattaf K., Yousfi N. A generalized HBV model with diffusion and two delays // Computers and Mathematics with Applications. 2015. Vol. 69. Issue 1. P. 31–40. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2014.11.010
5. Cheng Yueling, Lu Dianchen, Zhou Jiangbo, Wei Jingdong. Existence of traveling wave solutions with critical speed in a delayed diffusive epidemic model // Advances in Difference Equations. 2019. Vol. 2019. Issue 1. Article number: 494. https://doi.org/10.1186/s13662-019-2432-6
6. Jia Yunfeng. Bifurcation and pattern formation of a timor-immune model with time-delay and diffusion // Mathematics and Computers in Simulation. 2020. Vol. 178. P. 92–108. https://doi.org/10.1016/j.matcom.2020.06.011
7. Polyanin A.D., Sorokin V.G. New exact solutions of nonlinear wave type PDE with delay // Applied Mathematics Letters. 2020. Vol. 108. 106512. https://doi.org/10.1016/j.aml.2020.106512
8. Пименов В.Г. Разностные методы решения уравнений в частных производных с наследственностью. Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 2014.
9. Solodushkin S.I., Yumanova I.F., de Staelen R.H. First order partial differential equations with time delay and retardation of a state variable // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2015. Vol. 289. P. 322–330. https://doi.org/10.1016/j.cam.2014.12.032
10. Hendy A.S., de Staelen R.H., Pimenov V.G. A semi-linear delayed diffusion-wave system with distributed order in time // Numerical Algorithms. 2018. Vol. 77. Issue 3. P. 885–903. https://doi.org/10.1007/s11075-017-0344-7
11. Li Lili, Zhou Boya, Chen Xiaoli, Wang Zhiyong. Convergence and stability of compact finite difference method for nonlinear time fractional reaction–diffusion equations with delay // Applied Mathematics and Computation. 2018. Vol. 337. P. 144–152. https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.04.057
12. Hendy A.S., Macías-Díaz J.E. A novel discrete Gronwall inequality in the analysis of difference schemes for time-fractional multi-delayed diffusion equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2019. Vol. 73. P. 110–119. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2019.02.005
13. Xu Xiuxiu, Huang Qiumei. Discontinuous Galerkin time stepping for semilinear parabolic problems with time constant delay // Journal of Scientific Computing. 2023. Vol. 96. Issue 2. Article number: 57. https://doi.org/10.1007/s10915-023-02278-3
14. Пименов В.Г., Таширова Е.Е. Численные методы решения уравнения гиперболического типа с наследственностью // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18. № 2. C. 222–231. https://www.mathnet.ru/rus/timm823
15. Deng Dingwen, Chen Jingliang. Explicit Richardson extrapolation methods and their analyses for solving two-dimensional nonlinear wave equation with delays // Networks and Heterogeneous Media. 2023. Vol. 18. Issue 1. P. 412–443. https://doi.org/10.3934/nhm.2023017
16. Zhang Chengjian, Tan Zengqiang. Linearized compact difference methods combined with Richardson extrapolation for nonlinear delay Sobolev equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2020. Vol. 91. 105461. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2020.105461
17. Ким А.В., Пименов В.Г. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-диффренциальных уравнений. М.–Ижевск: РХД, 2004.
18. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
19. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.
Поступила в редакцию
2023-07-22
Опубликована 2023-11-20
Опубликована 2023-11-20