Некоторые задачи сближения нелинейных управляемых систем в фиксированный момент времени
Ключевые слова:
конфликтно управляемая система, управление, игрок, игровая задача о сближении, фиксированный момент, множество разрешимости, позиционная стратегия, позиция, стабильность
Аннотация
Изучается игровая задача о сближении нелинейной управляемой системы с целевым множеством в конечномерном фазовом пространстве в фиксированный момент времени. Задача формулируется и изучается в рамках понятий и конструкций теории антагонистических позиционных дифференциальных игр, созданной Н.Н. Красовским и А.И. Субботиным во второй половине 20 века. Одной из центральных проблем теории позиционных дифференциальных игр является проблема вычисления множеств позиционного поглощения в игровых задачах о сближении. В работе исследуется ключевое в теории позиционных дифференциальных игр свойство стабильности, представляющее собой характеристику некоторых замкнутых множеств в пространстве позиций управляемой системы, удобных первому игроку для ведения игры. Важно то, что это свойство является характерным и для множеств разрешимости в задачах о сближении: привлечение понятия стабильности к исследованиям позволяет в некоторых конкретных задачах о сближении получать аналитические описания множеств разрешимости и в ряде конкретных задач разрабатывать алгоритмы приближенного вычисления решения. Приведены некоторые модификации определения $u$-стабильного моста в рассматриваемой задаче о сближении и системы множеств, аппроксимирующей множество достижимости. Приведены также конкретные задачи о сближении механических систем, проведено моделирование решений задач на ЭВМ и представлены графические результаты моделирования.
Литература
1. Красовский Н.Н. Игровые задачи динамики. I // Известия Академии наук СССР. Техническая кибернетика. 1969. № 5. С. 3–12. https://zbmath.org/0199.49003
2. Красовский Н.Н., Субботин А.И. О структуре дифференциальных игр // Доклады Академии наук СССР. 1970. Т. 190. № 3. С. 523–526. https://www.mathnet.ru/rus/dan35165
3. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
4. Красовский Н.Н. К задаче унификации дифференциальных игр // Доклады Академии наук СССР. 1976. Т. 226. № 6. С. 1260–1263. https://www.mathnet.ru/rus/dan39789
5. Красовский Н.Н. Унификация дифференциальных игр // Труды Института математики и механики. 1977. Вып. 24: Игровые задачи управления. С. 32–45. https://search.rsl.ru/ru/record/01007673325
6. Понтрягин Л. О линейных дифференциальных играх. 1 // Доклады Академии наук СССР. 1967. Т. 174. № 6. С. 1278–1280. https://www.mathnet.ru/rus/dan33165
7. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх. 2 // Доклады Академии наук СССР. 1967. Т. 175. № 4. С. 764–766. https://www.mathnet.ru/rus/dan33242
8. Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования // Математический сборник (новая серия). 1980. Т. 112 (154). № 3 (7). С. 307–330. https://www.mathnet.ru/rus/sm2728
9. Никольский М.С. Об альтернированном интеграле Л.С. Потрягина // Математический сборник (новая серия). 1981. Т. 116 (158). № 1 (9). С. 136–144. https://www.mathnet.ru/rus/sm2447
10. Никольский М.С. О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина в линейных дифференциальных играх преследования // Математический сборник (новая серия). 1985. Т. 128 (170). № 1 (9). С. 35–49. https://www.mathnet.ru/rus/sm2016
11. Азамов А. Полуустойчивость и двойственность в теории альтернированного интеграла Понтрягина // Доклады Академии наук СССР. 1988. Т. 299. № 2. С. 265–268. https://www.mathnet.ru/rus/dan7722
12. Куржанский А.Б. Альтернированный интеграл Понтрягина в теории синтеза управлений // Алгебра. Топология. Дифференциальные уравнения и их приложения. Сборник статей. К 90-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина. Труды Математического института имени В.А. Стеклова. 1999. Т. 224. С. 234–248. https://www.mathnet.ru/rus/tm702
13. Пшеничный Б.Н. Структура дифференциальных игр // Доклады Академии наук СССР. 1969. Т. 184. № 2. С. 285–287. https://www.mathnet.ru/rus/dan34373
14. Пшеничный Б.Н., Сагайдак М.И. Дифференциальные игры с фиксированным временем // Кибернетика. 1970. № 2. С. 54–63.
15. Половинкин Е.С. Стабильность терминального множества и оптимальность времени преследования в дифференциальных играх // Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20. № 3. С. 433–446. https://www.mathnet.ru/rus/de5120
16. Половинкин Е.С., Иванов Г.Е., Балашов М.В., Константинов Р.В., Хорев А.В. Об одном алгоритме численного решения линейных дифференциальных игр // Математический сборник. 2001. Т. 192. № 10. С. 95–122. https://doi.org/10.4213/sm604
17. Субботин А.И., Субботина Н.Н. Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой цены дифференциальной игры // Доклады Академии наук СССР. 1978. Т. 243. № 4. С. 862–865. https://www.mathnet.ru/rus/dan42174
18. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.
19. Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона–Якоби. М.: Наука, 1991.
20. Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
21. Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. Об одном алгоритмическом критерии разрешимости игровых задач для линейных управляемых систем // Сборник научных трудов. Труды Института математики и механики УрО РАН. 2000. Т. 6. № 1. С. 131–140. https://www.mathnet.ru/rus/timm497
22. Guseǐnov Kh.G., Subbotin A.I., Ushakov V.N. Derivatives for multivalued mappings with applications to game-theoretical problems of control // Проблемы управления и теории информации. 1985. Т. 14. № 3. С. 155–167. http://real-j.mtak.hu/7996/1/MTA_ProblemsOfControl_14.pdf
23. Камнева Л.В., Пацко В.С. Построение множества разрешимости в дифференциальных играх с простыми движениями и невыпуклым терминальным множеством // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2017. Т. 23. № 1. С. 143–157. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-1-143-157
24. Кумков С.С., Ле Менек С., Пацко В.С. Множества разрешимости в задачах преследования с двумя догоняющими и одним убегающим // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20. № 3. С. 148–165. https://www.mathnet.ru/rus/timm1091
25. Lukoyanov N., Gomoyunov M. Differential games on minimax of the positional quality index // Dynamic Games and Applications. 2019. Vol. 9. Issue 3. P. 780–799. https://doi.org/10.1007/s13235-018-0281-7
26. Тарасьев А.М., Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. Об одном вычислительном алгоритме вычисления игровых задач управления // Прикладная математика и механика. 1987. Т. 51. № 2. С. 216–222.
27. Григорьева С.В., Пахотинских В.Ю., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Конструирование решений в некоторых дифференциальных играх с фазовыми ограничениями // Математический сборник. 2005. Т. 196. № 4. С. 51–78. https://doi.org/10.4213/sm1284
28. Ершов А.А., Ушаков А.В., Ушаков В.Н. О двух игровых задачах о сближении // Математический сборник. 2021. Т. 212. № 9. С. 40–74. https://doi.org/10.4213/sm9496
29. Черноусько Ф.Л., Меликян А.А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978.
30. Черноусько Ф.Л. Эллипсоидальная аппроксимация множеств достижимости линейной системы с неопределенной матрицей // Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60. № 6. С. 940–950. https://elibrary.ru/item.asp?id=26016239
31. Ананьевский И.М., Решмин С.А., Черноусько Ф.Л. Методы управления нелинейными хаотическими системами. М.: Физматлит, 2006.
32. Петросян Л.А. Дифференциальные игры с неполной информацией // Доклады Академии наук СССР. 1970. Т. 195. № 3. С. 558–561. https://www.mathnet.ru/rus/dan35806
33. Зимовец А.А., Матвийчук А.Р., Ушаков А.В., Ушаков В.Н. Свойство стабильности в игровой задаче о сближении при наличии фазовых ограничений // Известия РАН. Теория и системы управления. 2021. Т. 4. № 4. С. 27–45. https://doi.org/10.31857/S0002338821040132
34. Ушаков В.Н. Унификация в игровой задаче сближения и свойство стабильности // Челябинский физико-математический журнал. 2022. Т. 7. Вып. 1. С. 54–79. https://doi.org/10.47475/2500-0101-2022-17105
35. Ершов А.А., Ушаков В.Н. О сближении управляемой системы, содержащей неопределенный постоянный параметр // Математический сборник. 2017. Т. 208. № 9. С. 56–99. https://doi.org/10.4213/sm8761
36. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.
2. Красовский Н.Н., Субботин А.И. О структуре дифференциальных игр // Доклады Академии наук СССР. 1970. Т. 190. № 3. С. 523–526. https://www.mathnet.ru/rus/dan35165
3. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
4. Красовский Н.Н. К задаче унификации дифференциальных игр // Доклады Академии наук СССР. 1976. Т. 226. № 6. С. 1260–1263. https://www.mathnet.ru/rus/dan39789
5. Красовский Н.Н. Унификация дифференциальных игр // Труды Института математики и механики. 1977. Вып. 24: Игровые задачи управления. С. 32–45. https://search.rsl.ru/ru/record/01007673325
6. Понтрягин Л. О линейных дифференциальных играх. 1 // Доклады Академии наук СССР. 1967. Т. 174. № 6. С. 1278–1280. https://www.mathnet.ru/rus/dan33165
7. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх. 2 // Доклады Академии наук СССР. 1967. Т. 175. № 4. С. 764–766. https://www.mathnet.ru/rus/dan33242
8. Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования // Математический сборник (новая серия). 1980. Т. 112 (154). № 3 (7). С. 307–330. https://www.mathnet.ru/rus/sm2728
9. Никольский М.С. Об альтернированном интеграле Л.С. Потрягина // Математический сборник (новая серия). 1981. Т. 116 (158). № 1 (9). С. 136–144. https://www.mathnet.ru/rus/sm2447
10. Никольский М.С. О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина в линейных дифференциальных играх преследования // Математический сборник (новая серия). 1985. Т. 128 (170). № 1 (9). С. 35–49. https://www.mathnet.ru/rus/sm2016
11. Азамов А. Полуустойчивость и двойственность в теории альтернированного интеграла Понтрягина // Доклады Академии наук СССР. 1988. Т. 299. № 2. С. 265–268. https://www.mathnet.ru/rus/dan7722
12. Куржанский А.Б. Альтернированный интеграл Понтрягина в теории синтеза управлений // Алгебра. Топология. Дифференциальные уравнения и их приложения. Сборник статей. К 90-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина. Труды Математического института имени В.А. Стеклова. 1999. Т. 224. С. 234–248. https://www.mathnet.ru/rus/tm702
13. Пшеничный Б.Н. Структура дифференциальных игр // Доклады Академии наук СССР. 1969. Т. 184. № 2. С. 285–287. https://www.mathnet.ru/rus/dan34373
14. Пшеничный Б.Н., Сагайдак М.И. Дифференциальные игры с фиксированным временем // Кибернетика. 1970. № 2. С. 54–63.
15. Половинкин Е.С. Стабильность терминального множества и оптимальность времени преследования в дифференциальных играх // Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20. № 3. С. 433–446. https://www.mathnet.ru/rus/de5120
16. Половинкин Е.С., Иванов Г.Е., Балашов М.В., Константинов Р.В., Хорев А.В. Об одном алгоритме численного решения линейных дифференциальных игр // Математический сборник. 2001. Т. 192. № 10. С. 95–122. https://doi.org/10.4213/sm604
17. Субботин А.И., Субботина Н.Н. Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой цены дифференциальной игры // Доклады Академии наук СССР. 1978. Т. 243. № 4. С. 862–865. https://www.mathnet.ru/rus/dan42174
18. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.
19. Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона–Якоби. М.: Наука, 1991.
20. Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
21. Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. Об одном алгоритмическом критерии разрешимости игровых задач для линейных управляемых систем // Сборник научных трудов. Труды Института математики и механики УрО РАН. 2000. Т. 6. № 1. С. 131–140. https://www.mathnet.ru/rus/timm497
22. Guseǐnov Kh.G., Subbotin A.I., Ushakov V.N. Derivatives for multivalued mappings with applications to game-theoretical problems of control // Проблемы управления и теории информации. 1985. Т. 14. № 3. С. 155–167. http://real-j.mtak.hu/7996/1/MTA_ProblemsOfControl_14.pdf
23. Камнева Л.В., Пацко В.С. Построение множества разрешимости в дифференциальных играх с простыми движениями и невыпуклым терминальным множеством // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2017. Т. 23. № 1. С. 143–157. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-1-143-157
24. Кумков С.С., Ле Менек С., Пацко В.С. Множества разрешимости в задачах преследования с двумя догоняющими и одним убегающим // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20. № 3. С. 148–165. https://www.mathnet.ru/rus/timm1091
25. Lukoyanov N., Gomoyunov M. Differential games on minimax of the positional quality index // Dynamic Games and Applications. 2019. Vol. 9. Issue 3. P. 780–799. https://doi.org/10.1007/s13235-018-0281-7
26. Тарасьев А.М., Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. Об одном вычислительном алгоритме вычисления игровых задач управления // Прикладная математика и механика. 1987. Т. 51. № 2. С. 216–222.
27. Григорьева С.В., Пахотинских В.Ю., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Конструирование решений в некоторых дифференциальных играх с фазовыми ограничениями // Математический сборник. 2005. Т. 196. № 4. С. 51–78. https://doi.org/10.4213/sm1284
28. Ершов А.А., Ушаков А.В., Ушаков В.Н. О двух игровых задачах о сближении // Математический сборник. 2021. Т. 212. № 9. С. 40–74. https://doi.org/10.4213/sm9496
29. Черноусько Ф.Л., Меликян А.А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978.
30. Черноусько Ф.Л. Эллипсоидальная аппроксимация множеств достижимости линейной системы с неопределенной матрицей // Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60. № 6. С. 940–950. https://elibrary.ru/item.asp?id=26016239
31. Ананьевский И.М., Решмин С.А., Черноусько Ф.Л. Методы управления нелинейными хаотическими системами. М.: Физматлит, 2006.
32. Петросян Л.А. Дифференциальные игры с неполной информацией // Доклады Академии наук СССР. 1970. Т. 195. № 3. С. 558–561. https://www.mathnet.ru/rus/dan35806
33. Зимовец А.А., Матвийчук А.Р., Ушаков А.В., Ушаков В.Н. Свойство стабильности в игровой задаче о сближении при наличии фазовых ограничений // Известия РАН. Теория и системы управления. 2021. Т. 4. № 4. С. 27–45. https://doi.org/10.31857/S0002338821040132
34. Ушаков В.Н. Унификация в игровой задаче сближения и свойство стабильности // Челябинский физико-математический журнал. 2022. Т. 7. Вып. 1. С. 54–79. https://doi.org/10.47475/2500-0101-2022-17105
35. Ершов А.А., Ушаков В.Н. О сближении управляемой системы, содержащей неопределенный постоянный параметр // Математический сборник. 2017. Т. 208. № 9. С. 56–99. https://doi.org/10.4213/sm8761
36. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.
Поступила в редакцию
2023-09-25
Опубликована 2023-11-20
Опубликована 2023-11-20