Об условиях гладкости и выделении края рассеивающей поверхности в одном классе пространственных задач быстродействия
Ключевые слова:
задача быстродействия, рассеивающая поверхность, биссектриса, псевдовершина, крайняя точка, касательная плоскость, функция оптимального результата
Аннотация
Рассмотрен класс задач быстродействия в трехмерном пространстве с шаровой вектограммой скоростей. В качестве целевого множества выступает параметрически заданная гладкая кривая. Предложены численно-аналитические подходы к построению биссектрисы целевого множества — рассеивающей поверхности в задаче быстродействия. Основу алгоритмов составляют формулы точек края рассеивающей поверхности, выписанные в терминах инвариантов кривой. Показано, что эти точки образуют кромку биссектрисы и лежат в центрах соприкасающихся сфер к кривой. Доказана теорема о достаточных условиях гладкости рассеивающей поверхности. Найдены уравнения касательной плоскости к биссектрисе для тех ее точек, из которых выходит ровно две оптимальные траектории. Приведен пример решения задачи быстродействия в виде совокупности поверхностей уровня функции оптимального результата с выделением поверхности их негладкости.
Литература
1. Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967.
2. Lebedev P.D., Uspenskii A.A. Combined algorithms for constructing a solution to the time-optimal problem in three-dimensional space based on the selection of extreme points of the scattering surface // Ural Mathematical Journal. 2022. Vol. 8. No. 2. P. 115–126. https://doi.org/10.15826/umj.2022.2.009
3. Lebedev P.D., Uspenskii A.A. Analytic-numerical approach to construction of minimax solution to the Hamilton–Jacobi equation in three-dimensional space // Journal of Mathematical Sciences. 2022. Vol. 262. No. 3. P. 291–300. https://doi.org/10.1007/s10958-022-05817-9
4. Giblin P. Symmetry sets and medial axes in two and three dimensions // The mathematics of surfaces IX. Proceedings of the Ninth IMA Conference on the Mathematics of Surfaces. London: Springer, 2000, pp. 306–321. https://doi.org/10.1007/978-1-4471-0495-7_18
5. Лебедев П.Д., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Построение минимаксного решения уравнения типа эйконала // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14. № 2. С. 182–191. https://www.mathnet.ru/rus/timm34
6. Щербаков Р.Н., Пичурин Л.Ф. Дифференциалы помогают геометрии. М.: Просвещение, 1982.
7. Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
8. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981.
9. Giblin P., Reeve G. Centre symmetry sets of families of plane curves // Demonstratio Mathematica. 2015. Vol. 48. No. 2. P. 167–192. https://doi.org/10.1515/dema-2015-0016
10. Sotomayor J., Siersma D., Garcia R. Curvatures of conflict surfaces in Euclidean 3-space // Banach Center Publications. 1999. Vol. 50. P. 277–285. https://doi.org/10.4064/-50-1-277-285
11. Успенский А.А. Формулы исчисления негладких особенностей функции оптимального результата в задаче быстродействия // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20. № 3. С. 276–290. https://www.mathnet.ru/rus/timm1100
12. Нигмедзянова А.М. Дифференциальная геометрия. Часть 1: Дифференциальная геометрия кривых. Учебно-методическое пособие. Казань: Казанский университет, 2014.
13. Лебедев П.Д., Успенский А.А. Конструирование негладкого решения задачи управления по быстродействию при низком порядке гладкости границы целевого множества // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2019. T. 25. № 1. C. 108–119. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2019-25-1-108-119
14. Успенский А.А., Лебедев П.Д. О структуре сингулярного множества решения в одном классе пространственных задач управления по быстродействию // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2021. Т. 31. Вып. 3. С. 471–486. https://doi.org/10.35634/vm210309
15. Лебедев П.Д., Успенский А.А. Программа построения решения задачи быстродействия в трехмерном пространстве с шаровой вектограммой скоростей и невыпуклым целевым множеством. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2022666123 от 07.09.2022.
16. Ушаков В.Н., Ершов А.А. Оценка роста степени невыпуклости множеств достижимости управляемых систем в терминах $\alpha$-множеств // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. 2020. Т. 495. С. 100–106. https://doi.org/10.31857/S268695432006017X
17. Ушаков В.Н., Ершов А.А., Матвийчук А.Р. Об оценке степени невыпуклости множеств достижимости управляемых систем // Труды Математического института имени В.А. Стеклова. 2021. Т. 315. С. 261–270. https://doi.org/10.4213/tm4219
2. Lebedev P.D., Uspenskii A.A. Combined algorithms for constructing a solution to the time-optimal problem in three-dimensional space based on the selection of extreme points of the scattering surface // Ural Mathematical Journal. 2022. Vol. 8. No. 2. P. 115–126. https://doi.org/10.15826/umj.2022.2.009
3. Lebedev P.D., Uspenskii A.A. Analytic-numerical approach to construction of minimax solution to the Hamilton–Jacobi equation in three-dimensional space // Journal of Mathematical Sciences. 2022. Vol. 262. No. 3. P. 291–300. https://doi.org/10.1007/s10958-022-05817-9
4. Giblin P. Symmetry sets and medial axes in two and three dimensions // The mathematics of surfaces IX. Proceedings of the Ninth IMA Conference on the Mathematics of Surfaces. London: Springer, 2000, pp. 306–321. https://doi.org/10.1007/978-1-4471-0495-7_18
5. Лебедев П.Д., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Построение минимаксного решения уравнения типа эйконала // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14. № 2. С. 182–191. https://www.mathnet.ru/rus/timm34
6. Щербаков Р.Н., Пичурин Л.Ф. Дифференциалы помогают геометрии. М.: Просвещение, 1982.
7. Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
8. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981.
9. Giblin P., Reeve G. Centre symmetry sets of families of plane curves // Demonstratio Mathematica. 2015. Vol. 48. No. 2. P. 167–192. https://doi.org/10.1515/dema-2015-0016
10. Sotomayor J., Siersma D., Garcia R. Curvatures of conflict surfaces in Euclidean 3-space // Banach Center Publications. 1999. Vol. 50. P. 277–285. https://doi.org/10.4064/-50-1-277-285
11. Успенский А.А. Формулы исчисления негладких особенностей функции оптимального результата в задаче быстродействия // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20. № 3. С. 276–290. https://www.mathnet.ru/rus/timm1100
12. Нигмедзянова А.М. Дифференциальная геометрия. Часть 1: Дифференциальная геометрия кривых. Учебно-методическое пособие. Казань: Казанский университет, 2014.
13. Лебедев П.Д., Успенский А.А. Конструирование негладкого решения задачи управления по быстродействию при низком порядке гладкости границы целевого множества // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2019. T. 25. № 1. C. 108–119. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2019-25-1-108-119
14. Успенский А.А., Лебедев П.Д. О структуре сингулярного множества решения в одном классе пространственных задач управления по быстродействию // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2021. Т. 31. Вып. 3. С. 471–486. https://doi.org/10.35634/vm210309
15. Лебедев П.Д., Успенский А.А. Программа построения решения задачи быстродействия в трехмерном пространстве с шаровой вектограммой скоростей и невыпуклым целевым множеством. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2022666123 от 07.09.2022.
16. Ушаков В.Н., Ершов А.А. Оценка роста степени невыпуклости множеств достижимости управляемых систем в терминах $\alpha$-множеств // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. 2020. Т. 495. С. 100–106. https://doi.org/10.31857/S268695432006017X
17. Ушаков В.Н., Ершов А.А., Матвийчук А.Р. Об оценке степени невыпуклости множеств достижимости управляемых систем // Труды Математического института имени В.А. Стеклова. 2021. Т. 315. С. 261–270. https://doi.org/10.4213/tm4219
Поступила в редакцию
2024-04-29
Опубликована 2024-05-20
Опубликована 2024-05-20