О применении функций Гаусса и Лапласа в сочетании с теоремой Колмогорова для аппроксимации функций многих переменных
Аннотация
Исследуется специальный класс аппроксимаций измеримых функций многих переменных на единичном координатном кубе. Основу построения этого класса составляет теорема Колмогорова (в версии Шпрехера–Голубкова) о представлении произвольной непрерывной функции $f$ многих переменных в виде конечной суперпозиции непрерывных функций одного переменного: так называемых внешних (зависящих от $f$) и одной внутренней $\Psi$ (не зависящей от $f$ и монотонной). Изучаемый класс в случае непрерывных функций $f$ получается посредством аппроксимации внешних функций линейными комбинациями квадратичных экспонент (функций Гаусса), а внутренней функции $\Psi$ — линейными комбинациями функций Лапласа. Измеримая функция $f$, как известно, аппроксимируется непрерывной в соответствии с классической теоремой Лузина (с точностью до множества малой меры). Эффективность такого подхода основана на утверждениях о возможности сколь угодно точной аппроксимации на любом фиксированном конечном отрезке материнского вейвлета «мексиканская шляпа» линейной комбинацией двух функций Гаусса, а также о возможности сколь угодно точной равномерной аппроксимации непрерывных монотонных функций монотонной линейной комбинацией сдвигов и сжатий интеграла Лапласа (функций Лапласа). Доказывается всюду плотность изучаемого класса аппроксимаций в классе непрерывных функций многих переменных на координатном кубе. Приводятся результаты численных экспериментов, подтверждающие эффективность аппроксимаций изучаемого класса на примере непрерывных и кусочно непрерывных функций двух переменных.
Литература
2. Колмогоров А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиций непрерывных функций одного переменного и сложения // Доклады АН СССР. 1957. Т. 114. № 5. С. 953–956. https://www.mathnet.ru/rus/dan22050
3. Sprecher D.A. On the structure of continuous functions of several variables // Transactions of the American Mathematical Society. 1965. Vol. 115. P. 340–355. https://doi.org/10.2307/1994273
4. Голубков А.Ю. Построение внешних и внутренних функций представления непрерывных функций многих переменных суперпозицией непрерывных функций одного переменного // Фундаментальная и прикладная математика. 2002. Т. 8. Вып. 1. С. 27–38. https://www.mathnet.ru/rus/fpm628
5. Бутырский Е.Ю., Кувалдин И.А., Чалкин В.П. Аппроксимация многомерных функций // Научное приборостроение. 2010. Т. 20. № 2. С. 82–92. https://elibrary.ru/item.asp?id=14307440
6. Чернов А.В. О применении квадратичных экспонент для дискретизации задач оптимального управления // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 4. С. 558–575. https://doi.org/10.20537/vm170406
7. Чернов А.В. О равномерной монотонной аппроксимации непрерывных монотонных функций с помощью сдвигов и сжатий интеграла Лапласа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2022. Т. 62. № 4. С. 580–596. https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf11383
8. Чернов А.В. О монотонной аппроксимации кусочно непрерывных монотонных функций с помощью сдвигов и сжатий интеграла Лапласа // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2023. Т. 61. С. 187–205. https://doi.org/10.35634/2226-3594-2023-61-10
9. Maz'ya V., Schmidt G. Approximate approximations. Providence, RI: American Mathematical Society, 2007. https://doi.org/10.1090/surv/141
10. Riemenschneider S.D., Sivakumar N. Cardinal interpolation by Gaussian functions: A survey // The Journal of Analysis. 2000. Vol. 8. P. 157–178. https://zbmath.org/0972.41009
11. Luh Lin-Tian. The shape parameter in the Gaussian function // Computers and Mathematics with Applications. 2012. Vol. 63. Issue 3. P. 687–694. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2011.11.032
12. Hangelbroek T., Madych W., Narcowich F., Ward J.D. Cardinal interpolation with Gaussian kernels // Journal of Fourier Analysis and Applications. 2012. Vol. 18. Issue 1. P. 67–86. https://doi.org/10.1007/s00041-011-9185-2
13. Hamm K. Approximation rates for interpolation of Sobolev functions via Gaussians and allied functions // Journal of Approximation Theory. 2015. Vol. 189. P. 101–122. https://doi.org/10.1016/j.jat.2014.10.011
14. Griebel M., Schneider M., Zenger C. A combination technique for the solution of sparse grid problems // Iterative methods in linear algebra. Proceedings of the IMACS international symposium, Brussels, Belgium, 2–4 April, 1991. Amsterdam: North-Holland, 1992. P. 263–281. https://zbmath.org/0785.65101
15. Georgoulis E.H., Levesley J., Subhan F. Multilevel sparse kernel-based interpolation // SIAM Journal on Scientific Computing. 2013. Vol. 35. Issue 2. P. A815–A831. https://doi.org/10.1137/110859610
16. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). М.: Наука, 1973.
17. Moré J.J., Thuente D.J. Line search algorithms with guaranteed sufficient decrease // ACM Transactions on Mathematical Software. 1994. Vol. 20. No. 3. P. 286–307. https://doi.org/10.1145/192115.192132
Опубликована 2024-05-20