Об одном классе почти периодических типа Безиковича сечений многозначных отображений

Аннотация

Пусть ${\mathcal B}$ — банахово пространство и ${\mathcal M}^p({\mathbb R};{\mathcal B})$, $p\geqslant 1$, — пространство Марцинкевича с полунормой $\| \cdot \| _{{\mathcal M}^p}$. Через $\widetilde {\mathfrak B}^p_c({\mathbb R};{\mathcal B})$ обозначается множество функций ${\mathcal F}\in {\mathcal M}^p({\mathbb R};{\mathcal B})$, для которых выполняются следующие три условия: (1) $\| {\mathcal F}(\cdot )-{\mathcal F}(\cdot +\tau )\| _{{\mathcal M}^p}\to 0$ при $\tau \to 0$, (2) для любого $\varepsilon >0$ множество ($\varepsilon ,\| \cdot \| _{{\mathcal M}^p}$)-почти периодов функции ${\mathcal F}$ относительно плотно, (3) для любого $\varepsilon >0$ найдется множество $X(\varepsilon )\subseteq {\mathbb R}$ такое, что $\| \chi _{X(\varepsilon )}\| _{{\mathcal M}^1({\mathbb R};{\mathbb R})}<\varepsilon $ и для множества $\{ {\mathcal F}(t):t\in {\mathbb R}\, \backslash \, X(\varepsilon )\} $ существует конечная $\varepsilon $-сеть. Пусть $\widetilde {\mathcal M}^{p,\circ }({\mathbb R};{\mathcal B})$ — множество функций ${\mathcal F}\in {\mathcal M}^p({\mathbb R};{\mathcal B})$, удовлетворяющих условию (3) и условию: для любого $\varepsilon >0$ существует $\delta >0$ такое, что для всех множеств $X\subseteq {\mathbb R}$, для которых $\| \chi _X\| _{{\mathcal M}^1({\mathbb R};{\mathbb R})}<\delta $, выполняется оценка $\| \chi _X{\mathcal F}\| _{{\mathcal M}^p}<\varepsilon $. Аналогично определяются множества $\widetilde {\mathfrak B}^p_c({\mathbb R};U)$ и $\widetilde {\mathcal M}^{p,\circ }({\mathbb R};U)$ для полного метрического пространства $(U,\rho )$. Через ${\mathrm {cl}}\, U$ обозначается метрическое пространство непустых замкнутых ограниченных подмножеств пространства $(U,\rho )$ с метрикой Хаусдорфа. В работе, в частности, доказано, что для любых $F\in \widetilde {\mathfrak B}^p_c({\mathbb R};{\mathrm {cl}}\, U)$, $p\geqslant 1$, и $u\in U$, $\varepsilon >0$ при условии, что $\rho (u,F(\cdot ))\in \widetilde {\mathcal M}^{p,\circ }({\mathbb R};{\mathbb R})$, существует функция ${\mathcal F}\in \widetilde {\mathfrak B}^p_c({\mathbb R};U)\cap \widetilde {\mathcal M}^{p,\circ }({\mathbb R};U)$ такая, что ${\mathcal F}(t)\in F(t)$ и $\rho (u,{\mathcal F}(t))<\varepsilon +\rho (u,F(t))$ при почти всех $t\in {\mathbb R}$.